DER caso de estudio






ELEMENTOS DE INTEGRACIÓN NUMÉRICA
A menudo es necesario evaluar la integral definida de una función que no tiene una antiderivada explícita, o cuya antiderivada no es fácil de obtener; motivo por el cual recurrimos a la integración numérica, la cual a partir de aproximaciones tomando como punto de partida la noción de área bajo la curva, obtenemos un resultado que nos acerque al valordeseado (área).

Inicialmente nos acercaremos por aproximación de funciones constantes (Riemann), luego por aproximaciones de funciones lineales (Trapecio), a continuación realizaremos una aproximación por funciones cuadráticas (Simpson) y generalizando por funciones cúbicas o de orden superior (Newton-Cotes) y para finalizar aproximaremos con un método que es combinación de trapecio yextrapolación de Richarson (Romberg), vale la pena aclarar que son únicamente cuatro métodos propuestos, cuando en la literatura existen muchos métodos para lograr nuestro objetivo.

APROXIMACION POR FUNCIÓN CONSTANTE
Como dijimos anteriormente, este método es conocido como aproximación de RIEMANN para lo cual se utiliza la función constante, observemos la grafica y así definiremos lo necesario paralograr la aproximación:



Vamos a hallar el valor bajo el área de la función en el intervalo ; tomemos un rectángulo representativo y hallémosle su área; Vale la pena aclarar que aquí se dibujaron los tres tipos de aproximaciones por defecto () por exceso () y aproximación por punto medio ( la cual no trataremos), este método de Riemann lo que nos da es un intervalo en donde se encuentra laraíz, el cual es .
Como observamos este rectángulo tiene de base y su altura esta determinada como ; es decir su área es , sumando todos los rectángulos, haciendo el número de rectángulos infinitos, obtenemos:
, reescribiéndolo en términos de tenemos:
que es la aproximación del área por defecto; y
que seria la aproximación por exceso.

Aquí en Riemann se habla del error normalizado con elnúmero de cifras significativas que se desee.

Ya que la noción de limite es un concepto matemático, netamente analítico, no lo podemos considerar en el caso numérico, (una maquina no se puede acercar tanto como quiera a un número real), consideramos el n como un numero finito.

A continuación realizaremos un ejemplo en donde el número de rectángulos es finito; hallaremos el intervalo donde seencuentra el valor del área bajo la curva:

Ejemplo: Hallar una aproximación del área bajo la curva de en el intervalo ; lo primero que haremos será hallar los valores de las áreas de los rectángulos por defecto y luego por exceso, como sigue:

Generaremos la tabla que relaciona las aproximaciones por defecto y por exceso y su error normalizado, y luego mostraremos como se logran estosresultados con sumatoria;

Por defecto se generarían así los resultados:
Si n=1=
Si n=2 =

Si n=3 =
Y así sucesivamente hasta hallar el número de cifras significativas como lo muestra la tabla.

Por exceso se generarían así los resultados:

Si n=1=
Si n=2 =

Si n=3 =









Lo cual indica en que intervalo se encuentra el área pedida, este intervalo para n=3 seriaObservamos que si deseamos un número de cifras significativas grande, la convergencia es lenta

NOTA:
En realidad las Sumas de Riemann no dan una aproximación de la integral sino que dan una sucesión de intervalos en los cuales está el valor de la integral donde el ancho de estos intervalos va disminuyendo a medida que se hace grande el n.
Falta aclarar si el ejemplo anterior lohizo por encima o debajo y hacer el otro para mostrar que los intervalos en efecto van disminuyendo su ancho (diametro) “en esencia son circunferencias”

Ahora analizaremos el caso en el que el número de rectángulos es infinito; tomaremos la formula a la que llegamos para generalizar el área en este método






APROXIMACION POR FUNCIÓN LINEAL
Este método también es conocido como el...