derecho financiero

DERIVADA Y DIFERENCIAL
1. INCREMENTOS Y TASAS
El cálculo diferencial es el estudio del cambio que ocurre en una cantidad cuando ocurren variaciones en otras cantidades de las cuales depende la cantidad original. Por ejemplo:
El cambio en el costo total de operaciones de una plata que resultan de cada unidad adicional producida.
El cambio de la demanda en cierto producto que resulta de unincremento de una unidad en el precio.
DEFINICIÓN.
Sea x una variable con un primer valor y u segundo valor . Entonces el cambio en el valor de x, que es se denomina el incremento de x y se denota por .

Se usa la letra griega para denotar un cambio o incremento de cualquier variable.
denota el cambio de la variable x.
denota el cambio de la variable p..
Sea una variable que dependede x. Cuando , y tiene el valor . De manera similar, cuando , y tiene el valor . Entonces, el incremento de y es

Resolviendo la ecuación , para , se tiene . Usando este valor de en la definición de , se obtiene

Dado que puede ser cualquier valor de x se puede suprimir el subíndice y escribir

En forma alternativa, dado que , se puede escribir

Sea P el punto y Q el punto , ambossituados en la gráfica de la función (Ver figura 1) entonces el incremento es igual a la distancia horizontal de P a Q, mientras que es igual a la distancia vertical de P a Q. En otras palabras, es el recorrido y es la elevación de P a Q.
En la figura 1 se ilustra los incrementos y positivos. Es posible que , o ambos sean negativos y aún puede ser cero. Un ejemplo típico de un caso en quey se ilustra en la figura 2.

Figura 1.


Figura 2.
EJEMPLO.
El volumen de ventas de gasolina de cierta estación de servicio depende del precio por galón. Si p es el precio por galón en soles, se encuentra que el volumen de venta q (en galones por día) está dado por
.
Calcular el incremento en el volumen de ventas que corresponde a un incremento en el precio de S/. 6.80 a S/.6.83 por galón.
Solución.
p es la variable independiente y q la función que depende de p. El primer valor de p es y el segundo valor es . El incremento de p es

Los valores correspondientes de q son los siguientes


En consecuencia, el incremento de q está dado por

El incremento de q mide el crecimiento de q y el hecho de que sea negativo significa que q en realidad decrece. Elvolumen de ventas decrece en 18 galones por día si el precio se incrementa de S/. 6.80 a S/. 6.83.

Definición
La tasa de cambio promedio de una función f sobre un intervalo de x a se define por la razón . Por tanto, la tasa de cambio promedio de y con respecto a x es

Gráficamente, si P es el punto y Q es el punto sobre la gráfica de , entonces es la elevación y es el recorrido de P a Q.Por la definición de pendiente, se puede decir que es la pendiente del segmento rectilíneo PQ. Es decir, la tasa de cambio promedio de y con respecto a x es igual a la pendiente de la secante PQ que une los puntos P y Q sobre la gráfica de , ver figura 3. Estos puntos corresponden a los valores de x y de la variable independiente.

Figura 3. Tasa de cambio
EJEMPLO.
Un fabricante de bebidasgaseosas advierte que el costo por semana de producir x docenas de cierta bebida esta dado por soles y el ingreso obtenido por la venta de x toneladas está dado por . La compañía actualmente produce 4,400 docenas por semana, pero está considerado incrementar la producción a 4,900 docenas por semana. Calcular los incrementos resultantes en el costo, el ingreso y la utilidad. Determinar la tasa decambio promedio de la utilidad por docenas extras producidas.
Solución
El primer valor de x es 4,400 y


Bajo el incremento dado en la producción, los costos se incrementan en S/. 40,000 y los ingresos se incrementan en S/. 7,000.
A partir de estos resultados, es claro que la utilidad debe decrecer en S/. 33,000. Se puede advertir esto con más detalle si se considera que las utilidades...