Derecho

|INSTITUTO TECNOLOGICO SUPERIOR DE CALKINI |
|Nombre de la asignatura: Algebra Lineal |
|Carrera: Ingeniería en Sistemas Computacionales |
|Clave:ACF-0903 |
|Hrs. teoría - Hrs. práctica - Créditos: 3 - 2 - 5 |
|EN EL ESTADO DE CAMPECHE |

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TEMARIO

U NI D A D 2

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RAMIRO JOSE GONZALEZ HORTA
A r q u i t e c t o

U N I D A D 2
Matrices y Determinantes.
2.1 Definición de matriz, notación y orden.
2.2 Operaciones con matrices.
2.3 Clasificación de las matrices.
2.4 Transformaciones elementales por renglón. Escalonamiento de una matriz. Rango de una matriz.
2.5 Cálculode la inversa de una matriz.
2.6 Definición de determinante de una matriz.
2.7 Propiedades de los determinantes.
2.8 Inversa de una matriz cuadrada a través de la adjunta.
2.9 Aplicación de matrices y determinantes.
Arq. Ramiro González Horta. Febrero 2011

U N I D A D 2
Matrices y Determinantes.
2.4 Transformaciones elementales por renglón. Escalonamiento de unamatriz. Rango de una matriz.

La idea que se persigue con las transformaciones elementales es convertir una matriz concreta en otra matriz más fácil de estudiar. En concreto, siempre será posible conseguir una matriz escalonada, en el sentido que definimos a continuación.

Sea A una matriz y F una fila de A. Diremos que F es nula si todos los n´umeros de F coinciden con el cero. SiF es no nula, llamamos PIVOTE de F al primer n´umero distinto de cero de F contando de izquierda a derecha.

Una MATRIZ ESCALONADA es aquella que verifica las siguientes propiedades:

1. Todas las filas nulas (caso de existir) se encuentran en la parte inferior de la matriz.

2. El pivote de cada fila no nula se encuentra estrictamente mas a la derecha que el pivote de lafila de encima.

Por ejemplo, entre las matrices:

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A no es escalonada, mientras que B y C si lo son.

Dada una matriz escalonada E se define el RANGO de E, que representamos por rg (E), como el numero de filas no nulas de E.

En los ejemplos B y C de arriba se tiene rg (B) = rg(C) = 2, sin embargo no podemos decir que rg(A) = 3 ya que A no está escalonada. Otro ejemplo, las matricesnulas tienen rango cero y la matriz identidad de orden n cumple rg (In) = n.

La siguiente cuestión que abordaremos es la definición de rango para una matriz cualquiera que no esté escalonada. La idea será la de transformar la matriz dada en otra que sea escalonada mediante las llamadas transformaciones elementales por filas que describimos a continuación.

Dada una matriz A cualquiera, lasTRANSFORMACIONES ELEMENTALES por filas de A son tres:

I. Intercambiar la posición de dos filas.
II. Multiplicar una fila por un número real distinto de cero.
III. Sustituir una fila por el resultado de sumarle a dicha fila otra fila que ha sido previamente multiplicada por un número cualquiera.

Nota: Análogamente podríamos hacerlo todo por columnas; sin embargo, son lastransformaciones por filas las que son importantes en los sistemas de ecuaciones lineales que estudiaremos después.

El siguiente resultado nos garantiza que siempre podemos transformar una matriz cualquiera en otra escalonada.

Teorema

A partir de cualquier matriz A se puede llegar, mediante una cantidad finita de transformaciones elementales, a una matriz escalonada E.

Veamos en un...