Derecho

Ante todo nos referiremos a una superficie del espacio euclidiano que mencionamos de paso en el Capítulo 2.

Figuras 41 y 42

En la figura 41 se expone un plano euclidiano y en él la recta a y la curva t (atractriz) enlazada con a y que tiene la propiedad siguiente: el segmento de la tangente a t en cualquier punto de ésta, comprendido entre el punto de contacto y el punto de intersecciónde la tangente con la recta a , tiene una longitud constante que no depende de la elección del punto de contacto.
Si hacemos girar la atractriz t alrededor de la recta a , la primera describirá una superficie denominada seudoesfera (figura 42).
La seudoesfera es precisamente aquella superficie que investigó Beltrami demostrando que ésta se caracteriza por sus propiedades propias del pedazo delplano de Lobachevski (si se consideran "rectas" las líneas más cortas en él).
De manera semejante en el espacio de Lobachevski existe una superficie en la que se cumplen (para la misma interpretación de la noción "recta") las tesis superficiales de la geometría euclidiana; ésta es la llamada superficie límite, que la describe la línea límite girando alrededor de unos de sus ejes.
Alegaremosahora las formulaciones de algunas de las tesis más simples que son características para la geometría de Lobachevski.

Figura 43

1. Dos rectas paralelas se aproximan asintóticamente en la dirección de suparalelismo (es decir, la distancia entre un punto de una de estas rectas y laotra recta puede hacerse tan pequeña como se quiera) y divergen ilimitadamenteen la dirección opuesta.
2.Supongamos que la recta c corta las rectas divergentes a y b en los puntos A y B . La longitud del segmento AB será la mínima si c coincide con la perpendicular común a ambas rectas divergentes. A ambos ladosde su perpendicular común las rectas a y b divergen ilimitadamente.
3. El área del triángulo ABC , el área es igual a r 2 (π - ∠ A - ∠ B - ∠ C ) donde las magnitudes de los ángulos secogen en medida de radianes y r es la constante común para todos los triángulos, que ya mencionamos en elCapítulo 12, El área máxima π r 2 pertenecerá al triángulo en el que todos los ángulos son iguales a cero (en lafigura 43 semejante triángulo está sombreado).
4. El ángulo inscrito en una circunferencia no siempre se mide por la mitad delarco en el que se apoya. En particular, en el diámetrosiempre se apoya unángulo agudo (y no recto, como en la geometría euclidiana).
5. Si está dado un número entero arbitrario n > 6 puede ser construida tal circunferencia que el lado del polígonoregular de n lados, inscrito en dicha circunferencia, sea igual al radio de ésta. El ladodel hexágono regular inscrito en una circunferencia siempre es mayor que elradio de ésta.
6. En lageometría de Lobachevski, en ciertos casos, se puede efectuar lacuadratura del círculo, es decir, utilizando la regla y el compás se puedeconstruir un circulo y un "cuadrado" equidimensionales (más exactamente, unrombo equiángulo, pues en el plano hiperbólico no existe un cuadrilátero concuatro ángulos rectos). En la geometría euclidiana, como es sabido, no puedeser realizada la cuadratura del círculo.Fue un joven profesor de la Universidad de Kazan , Lobachevski, quien por primera vez plantea públicamente la cuestión del V Postulado en sus términos correctos  a través de un camino análogo al de Gauss : en vez de intentar demostrar el V Postulado, desarrolla una nueva geometría con una premisa contraria a éste.
Al igual que Gauss, Lobachevski parte de una proposición contraria al V Postulado: "por un punto exterior a una recta, se pueden trazar, al menos, dos rectas paralelas a la recta dada". Sustituyendo este enunciado al V Postulado y tomando el resto de los axiomas elegidos por Euclides, desarrolla una nueva geometría.
Si este enunciado es incompatible con el resto, se llegará a una contradicción. Por el contrario, si no se detecta (como así fue ) ninguna contradicción, se...