Derecho

Restricciones de igualdad En esta secci´n se presentan dos m´todos: el jacob´ o e ıano o de Jacobi y el lagrangiano o de Lagrange. El m´todo lagrangiano se puede deducir en forma l´gica a partir del m´todo e o e jacobiano. Esta relaci´n proporciona una interesante interpretaci´n econ´mica del m´todo o o o e lagrangiano. M´todo de derivadas restringidas (jacobiano). Se tiene el problema eMinimizar z = f (X) sujeta a g(X) = 0 en donde X = (x1 , x2 , . . . , xn ), g = (g1 , g2 , . . . , gm )T Las funciones f (X) y gi (X), i = 1, 2, . . . , m son doble y continuamente diferenciables. La idea de usar derivadas restringidas es desarrollar una ecuaci´n de forma cerrada para o las primeras derivadas parciales de f (X) en todos los puntos que satisfacen las restricciones g(X) = 0. Los puntosestacionarios correspondientes se identifican como aquellos en los que se anulan esas derivadas parciales. A continuaci´n se pueden usar las condiciones de suo ficiencia introducidas anteriormente para comprobar la identidad de los puntos estacionarios. Para aclarar el concepto propuesto, consid´rese a f (x1 , x2 ), que se ve en la figura 1. Esta e funci´n se va a minimizar, sujeta a la restricci´n oo g1 (x1 , x2 ) = x2 − b = 0 en donde b es una constante. De acuerdo con la figura 1, la curva definida por los tres puntos A, B y C representa los valores de f (x1 , x2 ) para los cuales siempre se satisface la restricci´n. o El m´todo de derivadas restringidas define al gradiente de f (x1 , x2 ) en cualquier punto de la e curva ABC. El punto B en el que se anula la derivada restringida es un puntoestacionario del problema con restricci´n. o A continuaci´n se desarrollar´ matem´ticamente este m´todo. De acuerdo con el teorema o a a e de Taylor, se tiene que para X + ∆X en la proximidad factible de X, f (X + ∆X) − f (X) = y g(X − ∆X) − g(X) = las ecuaciones se reducen a ∂f (X) = y ∂g(X) = 1 g(X)∂X f (X)∂X g(X)∆X + O(∆x2 ) j f (X)∆X + O(∆x2 ) j

Figure 1: Demostraci´n del concepto delm´todo jacobiano o e Para satisfacer la factibilidad debe cumplirse que g(X) = 0, ∂g(X) = 0, y en consecuencia ∂f (X) − f (X)∂X g(X)∂X = 0 = 0

Estas son (m + 1) ecuaciones con (n + 1) inc´gnitas, ∂f (X) y ∂X. Obs´rvese que ∂f (X) o e es una variable dependiente y en consecuencia est´ determinada una vez conocida ∂X. Eso a quiere decir que hay m ecuaciones con n inc´gnitas. o Si m > n, al menos (m− n) ecuaciones son redundantes. Al eliminar la redundancia el sistema se reduce a m ≤ n. Si m = n, la soluci´n es ∂X = 0 y X no tiene proximidad o factible, lo que quiere decir que el espacio de soluciones est´ formado s´lo por un punto. El a o caso restante, cuando m < n, requiere m´s desarrollo. a Se definir´ a X = (Y, Z) tal que Y = (y1 , y2 , . . . , ym ), Z = (z1 , z2 , . . . , zn−m ) Losvectores Y y Z se llaman variables dependiente e independiente, respectivamente. Al reexpresar los vectores gradiente de f y g en t´rminos de Y y Z se obtiene e f (Y, Z) = (
Y f, Z f ),

g(Y, Z) = ( 2

Y g,

Z g)

Se definir´ a J=
Yg

  =

Y g1

  , C=
Yg

  =

Y g1

  ,

. . .
Y gm

. . .
Y gm

Jm×m es la llamada matriz jacobiana, y Cm×n−m es la matrizde control. Se supone que la jacobiana J es no singular. Eso siempre es posible, porque las m ecuaciones dadas son independientes, por definici´n. Entonces, se deben seleccionar los componentes del vector o Y tales que la matriz J sea no singular. El conjunto original de ecuaciones en ∂f (X) y en ∂X se pueden escribir como sigue: ∂f (Y, Z) = y J∂Y = −C∂Z Ya que J es no singular, existe su inversa,J−1 . En consecuencia, ∂Y = −J−1 C∂Z Al sustituir ∂Y en la ecuaci´n de ∂f (X) se obtiene ∂f en funci´n de ∂Z, esto es, o o ∂f (Y, Z) = (
zf Y f ∂Y

+

Z f ∂Z

−

Yf J

−1

C)∂Z

A partir de esta ecuaci´n, la derivada restringida con respecto al vector independiente Z es o
cf

=

∂c f (Y, Z) = ∂c Z

zf

−

Yf J

−1

C
c f (Y, Z)

donde c f es el vector gradiente...