Deribadas

DERIVADAS: APLICACIONES A LOS NEGOCIOS
Prof. Luis Hernández M.

PARTE I
1. Utiliza la regla del producto para mostrar que la derivada de la función es la expresión escrita a la derecha: a) b) c) d)

f ( p ) = ( p 5 + 3 p − 4 )(4 p 2 − 5) ⇒
y = (5 + 6 x − x 7 ) ( x 2 + 2 x − 1) ⇒

d f ( p) = 28 p 6 − 25 p 4 + 36 p 2 − 32 p − 15 dp

dy = −9 x8 − 16 x 7 + 7 x 6 +18 x 2 + 34 x + 4 dx 1 4 54 W = ( 4 m − 2) (4 + 8m − 12m2 ) ⇒ W ' = −27 m + 48m + 10 m − 16 + 4 3 m

y = ( x +1)( 4 x − 2) ⇒

dy 3 1 1 = − + 4 4 dx 4 x x 4 x3
21 x

e)

g ( x ) = 6 x − 5 ( x 2 + 4 x − 7 ) ⇒ g ′( x) = 15 x3 − 10 x + 36 x − 20 −

(

)

2. Utiliza la regla del cociente para mostrar que la derivada de la función es la expresión escrita a la derecha: a)

f ( x) =

−x ⇒ x −1

df ( x) 1 = dx( x − 1) 2
y' = 5 x 6 − 54 x 3 − 14 ( x 3 − 2) 2

b) c)

y=

5x4 + 7 x ⇒ x3 − 2
2n−3 ⇒ 4n + 1

T ( n) =

T´ (n) =

dT 14 = dn ( 4n+1 )2

8 x 2 − 2 x +1 ⇒ W= 3 d) x − 5x + 1

W´ = −

8 x 4 − 4 x 3 + 43 x 2 − 16 x − 3

(x

3

− 5 x +1 )

2

3. Usando la regla de la cadena para obtener la derivada de la función (la respuesta se encuentra escrita a la derecha): a) y = (3x + 2) b)
 
5

y' = 15(5 x + 2) 4 y' = 3(2 x − 1)( x 2 − x ) 2
 

y = ( x 2 − x)3

(2 x 2 +1) 4 y= c) 2 4 d) y = 2 7(3x − 5 x + 2)10
e) f) g)

y' = 8 x (2 x 2 + 1)3
y'= − 40(6 x − 5) 7(3 x 2 − 5 x + 2)11

y = 5x − 4
3 3

y' =
3

5x2 (5 x 3 − 4) 2
10 x − 1 2 5 x 2 − x + 10

y = 5 x 2 − x + 10 y = 7 − 3x 2

y'=

y'=

−3 x 7 − 3x 2

3 h) y = 4( x + 5) + 9 x − 3

y'= 12( x + 5) 2 + 9

i) j)

y = 7 x + (2 x + 5)3
y = 2 x 4 − 8 x 3 + 3(2 x + 5)5

y' = 7 + 6(2 x + 5) 2
y' = 8 x 3 − 24 x 2 + 30(2 x + 5) 4
y' = − 3 24 x 3 − 2 x 2 7 ( x 4 + 2 )4

k) y =

3 2 + 2 x 7 ( x 4 + 2 )3

l)

y = 6x + 7 +

3 10 ( 2 x +1)
4
5

y' = 6 −
y' = −

3

( 2 x +1)
5

6

68(2 x + 3)3

⎛ 2x + 3 ⎞ m) y = ⎜ ⎟ ⎝ 3x − 4 ⎠ 3( x 2 − 10 x − 2)( x 2 + 2) 2y' = n) 3 (5 −)

( 3x − 4 )

y' = −

3( x 2 − 10 x − 2)( x 2 + 2) 2

(5 − x )

4

4. Determine las derivadas de las siguientes funciones: (a) f ( x) = 3 x 2 + 2 x ln( x) , (b) f ( x) =
Solución:
1 − 2x . x−3

(a) f ′( x ) = 6 x + 2 ln x + 2 − 2( x − 3) − (1 − 2 x) 5 = . (b) f ′( x) = 2 ( x − 3) ( x − 3) 2 5. Determine las derivadas de las siguientes funciones:

 

 

(a) h(x) = ( x 3 + 5 x + 1) , (b) f ( x ) = 1 − 2 x .
Solución:

⎛ ⎞ 2 1 3x 2 + 5 (3x + 5) = (a) h′( x) = ⎜ . ⎟ 3 2 ( x3 + 5 x + 1) ⎝ 2 ( x + 5 x + 1) ⎠ −2 −1 = . (b) f ′( x) = 2 1 − 2x 1 − 2x
6. Hallar f ′′(x) para f ( x ) =
Solución:
x . 1− x

La primera derivada es f ′( x) =

(1 − x )(1) − ( −1)( x ) 1 . = 2 (1 − x ) (1 − x ) 2 − 2(1 − x)(−1) 2 . = 4 (1 − x) (1 − x) 3

La segundaderivada es f ′′( x) =

7. Determine los puntos (si los hubiese) en los que la tangente a x + y 2 = 1 es perpendicular a la recta x + 2 y = 0 .
Solución: 2 Derivamos x + y = 1 , respecto de x : 1 + 2 yy′ = 0

Despejamos y′ = −

1 1 . Igualamos y′ = − = 2 , que es la pendiente de la perpendicular 2y 2y

a la recta x + 2 y = 0 . De aquí se obtiene y = −1 / 4. .
2 Luego el punto en el que latangente a x + y = 1 es perpendicular a la recta x + 2 y = 0 , 15 1 es ( ,− ) . 16 4 x +1 d3y . Encuentre 8. Para la función: y = ( x = 0) 2x +1 dx3

 

 

 

 

PARTE II
1. El

x unidades de cierto artículo es C ( x) = 5000 + 10 x + 0.05 x . Halle la razón instantánea de cambio de C con respecto a x , cuando x = 100 . (Esto se conoce como costo marginal).
costo (en dólares)
2

deproducir

Solución: Derivamos C respecto de x.
dC dC = 10 + 2 ⋅ 0.05 x ⇒ (100) = 10 + 2 ⋅ 0.05(100) = 20 Dólares/unidad. dx dx

2. El costo total en dólares de producción de x libras de cierta sustancia química esta dado por: C ( x ) = 45 + 5 x 2 . Determinar el costo marginal cuando se producen 3 libras de dicha sustancia química.
Solución:

dC dC = 10 x → dx dx

= 10(3) = $30/unidad...