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UNIDAD II: DIFERENCIACION

Tasa promedio de cambio
Tasa instantánea de cambio
Pendiente de una curva
Definición de una derivada
Reglas de diferenciación
Derivadas de orden superior
Regla de la cadena.


El concepto de tasa suele asociarse con la rapidez necesaria para observar un cambio. Lo anterior sucede al estudiar fenómenos como las reacciones químicas (ganancia o pérdida demasa, incremento o disminución de la concentración), los nacimientos, el crecimiento, la muerte, la propagación de una infección, que suelen referirse a cierta unidad de tiempo o a otra variable

Comúnmente, un fenómeno puede describirse como una función continua “y” de una variable independiente “x”,

Así pues, una tasa puede ser definida como una medida del cambio que expresa una cantidad(y) por cada unidad de otra cantidad (x), de la cual y es dependiente. Por lo tanto si y = f(x), supongamos que x toma los valores (a) y (a+h). Entonces, el cambio en el valor de la función (incremento de f) es
Δf(a) = f(a+h) – f(a)
,entonces La tasa de cambio promedio de f en el intervalo entre a y (a+h) es



La tasa de cambio instantánea de f en a es f’(a) La tasa de cambio proporcionalde f en a es f’(a)/f(a). Esta tasa es conocida también como tasa de cambio relativa.

Puesto que x suele ser la medida del tiempo y la cantidad “Y” describe un proceso continuo a lo largo del tiempo, entonces es la velocidad promedio que corresponde a ese proceso. El resultado puede ser positivo o negativo, dependiendo de que y se incremente o disminuya a lo largo del tiempo.

TASAS DE CAMBIOY SU INTERPRETACIÓN ECONÓMICA

Costo marginal: es el costo que se genera al producir una unidad adicional de un producto o servicio. Ahora supongamos que se tiene una función costo Q(x) que representa el costo por producir x unidades, de tal manera que el costo por producir h unidades adicionales es:

Q(x+h) – Q(x)

Ahora se tiene la siguiente función la cual se conoce como costo promediopor producir h unidades adicionales. Cuando existe el limite del cociente al tender h a cero.
:

Se puede decir entonces que: costo marginal = Q`(x), donde Q`(x) representa la primera derivada de la función Costo Q(x), esto es igual a decir que el costo marginal es la variación o diferencia entre la producción de x unidades mas h unidades adicionales y el costo por producir x unidades. En lasiguiente formula Δ (Q) se lee delta de Q y es la variación de Q al producir una unidad adicional.
Δ (Q)= Q(x+h) – Q(x)


Ingreso Marginal: De manera análoga a la definición de costo marginal se puede definir el ingreso marginal, que es el ingreso adicional obtenido por la venta de una unidad más de un producto o servicio. Si cada una de las unidades de un producto se vende al mismo precio,entonces, el ingreso marginal siempre es igual al precio.

Ahora, supongamos que tenemos una función ingreso R(x) que representa el ingreso por a venta de x unidades y x es la cantidad vendida, de tal manera que el ingreso por vender h unidades adicionales es,
R(x+h) – R(x)

Ahora se tiene la siguiente función la cual se conoce como ingreso promedio por producir h unidades adicionales. Cuandoexiste el limite del cociente al tender h a cero.
:

Ingreso marginal = R`(x)

Se puede decir que, como X (número de unidades vendidas) y asumiendo P (precio unitario) son variables no negativas, entonces R(x) es no negativa. Sin embargo, dR(x)=dx (derivada de R con respecto de X) puede ser positiva o negativa ya que, a medida que se incrementa la demanda, el precio tiende a aumentar, hastaque se llega a un precio en el cual la demanda disminuye y por tanto el ingreso también disminuye; lo que significa, no obstante que el ingreso total es no negativo, éste puede aumentar o disminuir a medida que se incrementa la cantidad de demanda.
DEMANDA: La empresa utiliza esta función para relacionar la cantidad de productos demandada por los consumidores, con el precio unitario al que se...