Deriv Monoton

Derivada de una funci´
on mon´
otona
Definici´
on (derivadas unilaterales superiores e inferiores). Sea I un invervalo de
R, f : I → R una funci´on, x ∈ I.
f (x + h) − f (x)
;
h
h→+0
f (x − h) − f(x)
;
D− f (x) = l´ım sup
h
h→+0
D+ f (x) := l´ım sup

f (x + h) − f (x)
;
h→+0
h
f (x − h) − f (x)
D− f (x) = l´ım inf
.
h→+0
h
D+ f (x) = l´ım inf

1. Ejemplo. Calcular D+ , D− , D+ , D− en el punto 0para la funci´on
f (x) =

x sin x1 , x = 0;
0,
x = 0;

2. Ejercicio.
1. Sea g(x) = −f (x) para todo x ∈ [a, b]. Entonces D+ g(x) = −D+ f (x).
2. Sea h(x) = f (−x) para todo x ∈ [a, b]. Entonces D+g(x) = −D− f (−x).
3. Ejercicio. Sea f ∈ C[a, b], c ∈ (a, b), f tiene un m´aximo local en c. Entonces
D− f (c) ≤ D− f (c) ≤ 0 ≤ D+ f (c) ≤ D+ f (c).
4. Proposici´
on. Sea f ∈ C[a, b]. Supongamos que D+f (x) ≥ 0 para todo x ∈ (a, b),
entonces f es creciente, i.e. f (x) ≤ f (y) para todos x < y
5. Teorema. Sea f : [a, b] → R una funci´on creciente. Entonces f es derivable c.t.p., f
es medible, y
b

f(x) dx ≤ f (b) − f (a).
a

Demostraci´on. 1. Demostremos que D+ f (x) = D− f (x) en c.t.p. Para otros pares de
derivadas la demostraci´on es similar. Notemos que
{x ∈ [a, b] : D+ f (x) > D− f (x)} =Eu,v ,
u,v∈Q : u>v

donde
Eu,v = {x ∈ [a, b] :

D+ f (x) > u

∧

D− f (x) < v}.

Por eso es suficiente probar que λ∗ (Eu,v ) = 0. Sea s = λ∗ (Eu,v ). Elijamos ε > 0 arbitrario.
Usando la definici´onde la medida externa, elijamos un conjunto G abierto tal que Eu,v ⊆ G
y λ(G) < s + ε.
p´agina 1 de 2

2. Para todo x ∈ Eu,v , por la definici´on de D− , existe un δ > 0 tal que x − δ ∈ G y
f (x) − f(x − δ) < vδ.
Los intervalos [x − δ, x] que cumplen con estas propiedades forman una cubierta de Vitali
de Eu,v . Sea {[xj −δj , xj ]}1≤j≤m una sucesi´on finita de intervalos disjuntos de estacubierta
m
j=1 [xj

tal que λ∗ Eu,v \

− δj , xj ] < ε. Entonces λ∗ (A) > s − ε, donde
m

A := Eu,v ∩

(xj − δj , xj ) .
j=1

3. Para todo y ∈ A, por la definici´on de D+ , existe un h > 0 tal que y + h...