deriva

TEORÍA Y EJERCICIOS DE DERIVADAS
MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES I
I.E.S. Sierra de Guadarrama
Definición de derivada: La derivada de la función f en el punto x=a, llamada f prima dea se
denota por f’(a), si existe, es el valor del limite:

Si f’(a) es un número real, la función f es derivable en x=a. Si f’(a) no es un número real o el
límite no existe, la función f no esderivable en dicho punto.
Ejemplo: Calcular la derivada de f(x)=x2 en x=2:

Tasa de variación media: Supongamos que un coche de formula uno se mueve en una
carretera totalmente recta. A distintasdistancias de la salida se registran los tiempos de paso,
obteniéndose la siguiente tabla:

En este caso, la posición y, se puede ver como una función f, que depende del tiempo x; es decir
y=f(x).La tasa de variación media de la posición en el intervalo de tiempo desde el instante 9 al
instante 13.4 es:

En general, la tasa de variación media de la función f en el intervalo [a;b] se definecomo el
cociente:

Esta tasa puede ser positiva (creciente), negativa (decreciente) o nula (constante).
La tasa de variación instantánea de la función f en el punto x=a se obtiene, haciendo tenderel
punto b al punto a, en la tasa de variación media de la función f en el intervalo [a;b]; por tanto,
la tasa de variación instantánea de la función f en el punto x=a es
que es precisamente laderivada de la función f en el punto x=a. (en este límite consideramos
b=a+h)
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Utilizamos la derivada como la variación de una función en un punto concreto, o en un instante de
tiempo, por esose considera h como un incremento muy pequeño. Ejemplos de uso en el cálculo
de la velocidad y de la aceleración instantáneas.

Ejemplos de derivadas aplicando la definición
Hallar la tasa devariación media de la función f(x)=x2+1 en el intervalo [0;3] y la tasa de variación
instantánea en el punto x=2.
Intervalo [a;a+h] luego f(a+h)=f(3)=32+1=10 y f(a)=f(0)=02+1=1

Calculamos f(x+h)...