Derivabilidad Ingeniería 2015

Liceo Nº6 F.Bauzá

Derivabilidad
Repartido teórico-práctico

6ºFM1

INTRODUCCIÒN
Y

Se considera una función f definida en un
entorno de centro a, sea x perteneciente a dicho entorno.

ta

P
f(x)

al : f(x) – f(a) le llamamos
x-a
“cociente incremental”
(“velocidad media”).
Observemos que dicho cociente es la
pendiente de la recta r, que pasa por los
x puntos A(a,f(a)) y P(x,f(x)).

f(x) – f(a)f(a)

A
x-a
a

x

DEFINICIÓN E INTERPRETACIÓN GRÁFICA DE LA DERIVADA.
Si hacemos tender x al número a (x→a),en ese caso P→A, y la recta AP tenderá a la recta
t a, tangente a la gráfica de f en el punto (a,f(a)).
La pendiente de AP(cociente incremental o “velocidad media”) entonces, tenderá a la pendiente
de ta . A dicho límite en caso de existir y ser finito le llamaremos :
“derivada de f en a” y laanotaremos : f ’(a), como vimos, ese número es la pendiente
de la recta ta, tangente a la gráfica de f en el punto (a,f(a)). (también
“velocidad instantánea en a”). Es decir :
f ’(a) = lím f(x) – f(a)
x→a x-a

Resumiendo:

(si existe y es finito)

DEFINICIÓN: Siendo f una función definida en x = a, diremos que ésta es derivable en x=a
si y sólo si existe y es finito el lím f(x) – f(a)
x→a x-a
Adicho límite le llamamos derivada de f en x = a y lo anotamos : f ’(a).

Ecuación de la recta tangente
Teniendo en cuenta que la ecuación de una recta que pasa por el punto
A(xA,yA)
y tiene pendiente “m” es : y-yA = m.(x-xA) y la interpretación gráfica de la
derivada, tenemos que:
la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto (a,f(a)) es :
y- f(a) = f ’(a).(x-a)
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Ejemplo : Sea f : f (x)= x2 – 2x + 3. Calcularemos (si existen) e interpretaremos gráficamente :
f ’(0), f ‘(1) y f ‘(2).
f ‘(0) = lím f(x) – f(0) = lím x2 – 2x + 3 – 3 = lím x.(x-2) = -2 = f ’(0)
x→0 x-0
x→0
x
x→0 x
Desde el punto de vista gráfico, esto implica que latangente a la gráfica de f en el punto
(0,f(0)) ≡ (0,3), tiene pendiente -2.
Su ecuación es : t 0) y-3=-2.(x-0) o sea : t0) y = -2x+3

f ’(1) = lím f(x) – f(1) = lím x2 – 2x + 3 – 2 = lím (x-1)2
x→1 x-1
x→1
x -1
x→1 x-1

= lím (x-1) = 0 = f ’(1)
x→1

Por lo tanto, la recta tangente en el punto (1, f(1) ) ≡ (1, 2), tiene pendiente 0, o sea es
horizontal. f ‘(2) = límf(x) – f(2) = límx2 – 2x + 3 – 3 =lím x.(x-2)
x→2 x-2

x→2 x-2

x→2 x-2

= lím x = 2 = f ’ (2)
La tangente en (2,f(2))≡ (2,3) , tiene pendiente 2.
Su ecuación es : t2) y-3 = 2.(x-2) o sea : t2) y = 2x - 1
Grafiquemos f :
y
Observamos que:
Si f’(a) >0 → f es “estrictamente creciente en a” (f ↑
en a)
Si f’(a)<0 → f es “estrictamente decreciente en a”
(f↓ en a)
Si f’(a)=0 → la gráfica de f tiene tangente
horizontal en (a,f(a)).
Estopodría darse en los siguientes casos:

“mínimo relativo” “máx.relativo” “punto de inflexión”

Estos conceptos y teoremas los veremos con más rigor.

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FUNCIÓN DERIVADA
Lo anterior podría hacernos pensar en la utilidad de conocer la derivada en cada punto,
calcularemos entonces f ’(a), siendo a un valor cualquiera para el cual f esderivable. Lo
haremos en el ejemplo que venimos trabajando :
f ‘(a) = lím f(x) – f(a) = lím
x→a

x-a

x2 – 2x + 3 – (a2 – 2a + 3) =

x→a

x -a

x2 – 2x – a2 + 2a = lím (x-a).(x+a-2) = lím (x+a-2) =

= lím

2a-2 x→a

x-a

x→a

x-a

x→a
a

1

-2
a

1

a-2

-a2 + 2a
+a2 – 2a

0

Entonces f ‘(a) = 2a-2 , siendo a un valor cualquiera de
escribiremos : f ’(x)= 2x-2 que es la relación de la
funciónderivada

Si estudiamos su signo, conoceremos el crecimiento, decrecimiento, máximos y mínimos de
la función :
sig f ‘(x) - - - - - - - 0 + + + + + + + +
1
De acuerdo a lo visto esto significa que la función decrece hasta el 1, en 1 tiene un mínimo
relativo de tangente horizontal (¡el vértice de la parábola!), y luego crece.
Más adelante construiremos una tabla de funciones derivadas, evitando el...