Derivabilidad

DERIVABILIDAD

1. Variación de una función:

1. Si f es una función real de variable real, la diferencia f(x) – f(a) mide la variación del valor de la función f al tomar la variable el valor a y el valor x.

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2. Este valor no es muy significativo, tan sólo nos indicaría que:

Si f(x) – f(a) > 0 con a < x, entonces la función es creciente.
Si f(x) – f(a) < 0 con a < x,entonces la función es decreciente.

3. Sería mejor considerar el valor promedio de esta variación:

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4. A este cociente se le llama pendiente de la recta que pasa por los puntos (a, f(a)) y (x, f(x)).

5. A medida que el punto x se acerca al punto a, las rectas que unen los puntos (a, f(a)) y (x, f(x)), también llamadas secantes, se acercan cada vez más a la recta tangente a lagráfica de la función f en el punto (a, f(a)):

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6. Ahora bien, la información sobre como varían los valores de la función cerca del punto a será más exacta cuanto menor sea la longitud del intervalo [a, x], lo que lleva al límite cuando x tiende al punto a:

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7. Bajo ciertas condiciones, a este límite se le llama derivada de la función f en el punto a.

8. Sia los incrementos de la función y de la variable se les denomina de otra forma, se obtiene otro modo de representar la derivada:

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9. Ahora, h debe tender a 0 para que la longitud del intervalo [a, a+h] sea lo menor posible para saber qué ocurre cerca del punto a. De esta manera, el límite se transforma en:

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2. Derivada de una función en un punto: Se dice que una funciónf(x) tiene derivada en un punto a si existe y es finito el límite:

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Si este límite existe, se dice que la función es derivable en dicho punto, y la derivada, por tanto, será un número real.

Ejemplo 1: Hallar la derivada de la función f(x) = 3x + 1 en el punto x = 2.
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Ejemplo 2: Hallar la derivada de la función f(x) = x2 en el punto x = 2.

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1. De las propiedadesde los límites se deduce que una función tiene derivada en el punto a si existen los límites laterales en el punto a, son iguales y finitos.

2. En caso de existir el límite lateral por la izquierda, se denomina derivada por la izquierda en a:

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3. En caso de existir el límite lateral por la derecha, se denomina derivada por la derecha en a:

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Ejemplo: Dada la siguientefunción, determinar si es derivable en el punto x = 0.

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Para comprobarlo, se calculan las derivadas laterales en x = 0:

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Como los límites laterales coinciden, la función es derivable en el punto x = 0, y por tanto, f ´(0) = 1.

3. Función derivable: Una función es derivable en un intervalo abierto cuando lo es en todos los puntos de dicho intervalo.

Ejemplo: Dada lasiguiente función, determinar si es derivable.

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Para comprobarlo, se calculan las derivadas laterales en el único punto en el que cambia la función:

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Como los límites laterales no coinciden, la función es no es derivable en el punto x = 0.

4. Derivabilidad y continuidad:

1. Si una función f(x) es derivable en un punto x = a, entonces la función es continua en dicho punto.2. Por lo tanto, si una función f(x) no es continua, la función no es derivable.

3. Si una función f(x) es continua en un punto x = a, la función no tiene por qué ser derivable.

4. Por lo tanto, el estudio de la derivabilidad de una función implica:

1. Que sea obligatoriamente continua.

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2. Que tenga pendiente definida en el punto ó puntos estudiados, es decir, debevariar de forma suave en dichos puntos:

Ejemplo 1: La función f(x) = x2 – 1 es continua y derivable en x = 1.

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Ejemplo 2: La función f(x) = |x – 1| es continua pero no derivable en x = 1.

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3. Se deben calcular las derivadas laterales en el punto o puntos estudiados, y ambas deben coincidir. A veces los conceptos de derivada lateral y límite lateral de f ´(x) se...