Derivabilidad

TEMA 2
DERIVABILIDAD Y DIFERENCIABILIDAD

Pendiente de una recta
Pedro quiere poner un puesto de venta de zumo de naranja. Para ello debe pagar al ayuntamiento 60 € . Paga el kg de naranjas a 1€. Si obtiene 4.5 zumos por kg y cobra el zumo a 2 € ¿Qué beneficio obtiene si: a) No vende ningún zumo porque llueve ; b) Vende 30 zumos; c) Vende 60 zumos; d) Vende 200 zumos?; e) Escribe yrepresenta una función que dé el beneficio total en función del número de zumos vendidos

e) ¿Qué beneficio extra obtiene Pedro si vende un Kg más? Respuesta: 4.5  2  1  8 . Pero nos interesa saber el beneficio por cada zumo más, que será de 8/4.5 = 1.78. La función pedida es B(N) = B( N )  60  1.78  N
a) b) c) d) B(0)=-60; B(30)= -6.6; B(60) = 46.8; B(200) = 296

1.78 es la pendiente de larecta del gráfico de la función B(N), también llamada derivada de B(N) y nos dice el beneficio extra por cada zumo más vendido

Ecuación punto-pendiente de una recta
Interpretación geométrica de la pendiente de una recta

m

La pendiente m de una recta es el ascenso en el gráfico de la recta por unidad de avance horizontal (si la pendiente es negativa se tratará de un descenso)

1

¿ Quéfunción tiene por gráfico una recta que pasa por el punto (a,b) y tiene pendiente igual a m?

( a , b)
m
b

y
y

y  b  y  b  m( x  a)

y  b  m( x  a) Ecuación puntopendiente xa y  b  m( x  a)
Avance horizontal
Avance vertical

a 1

x

¿Es y = 3x+5 la ecuación punto pendiente de una recta? ¿Cuál es la pendiente? ¿Cuál es el punto?

La pendiente es 3, y el punto(0,5)
En general y = mx+b es la ecuación de una recta con pendiente m que corta al eje de ordenadas a altura b. Estas funciones se llaman funciones afines

y
y  mx  b

b

y

y m x
La pendiente de una recta se puede medir como cociente de cualquier incremento vertical entre el correspondiente incremtno horizontal

x

x

Derivada de una función de una variable: Definicióngeométrica
¿Existe una pendiente de una función cuyo gráfico no es una recta?
y

f (a)

f ( x)

a

c

b
x

Si existe, pero va variando en cada punto. La pendiente de la función y =f(x) en el punto de abcisa a se llama derivada de f en a, se escribe f’(a) y se define como la pendiente de la recta tangente al gráfico de f(x) en el punto de abcisa a

¿Qué signo tiene f’(a)? ¿Y f’(b)? ¿Yf’(c)? Como la pendiente de f en cada punto varía, para cada x hay una pendiente, f’(x), en general distinta. La función f’(x) que nos da la derivada de f en x se llama función derivada de f.

Crecimiento de una función y signo de la derivada
f ( x)

f ´(a)  0 

f es creciente en a f es decreciente en b

f ´(b)  0 

x

a

c b d

e

f alcanza un máximo en c  f ´(c)  0f alcanza un mínimo en d  f ´(d )  0

f '(e)  0  f tiene un máximo o un mínimo en e

Ecuación de la tangente al gráfico de una función en un punto
Ecuación de la recta tangente al gráfico de la función f(x) en el punto de abcisa a y
f (a)

f ( x)

a
x
Coordenadas del punto por el que pasa la recta tangente

y  f '(a)(m  a)  f (a)

Ecuación punto-pendiente de la rectatangente a f en (a,f(a)) exp(x) en x = 0 Ln(x) en x = 1 (x-2)2+1 en x=2

Pendiente de la recta tangente
Escribe las ecuaciones de la recta tangente a la función

Derivada de una función de una variable: Definición analítica
f

La recta tangente al gráfico de una función es el límite de las rectas secantes 
La derivada, que es la pendiente de la tangente, será el límite de las pendientes delas secantes
f ( a  h)  f ( a ) Pendiente de s(h) = h

s ( h)
f
f (a  h)  f (a)

f (a)

f ( a  h)

f '(a)  limh0

f ( a  h)  f ( a ) h

a

h
ah

f (a)

Derivación parcial de funciones de varias variables
A) Escribe la función que sirve para calcular los ingresos I de una empresa que vende a precio p una cantidad de x unidades de un producto. ¿De cuantas variables...