Derivación Implícita

Derivación Implícita.

Una función implícita es aquella en la que se da una relación entre las variables x y y en una ecuación no resuelta para y, es posible entonces aseverar que y esuna función explícita de x. Esto implica entonces que se trata de una identidad que es verdadera para x en todo el dominio f. este resultado caracteriza a todas las funciones definidasimplícitamente por una ecuación en x y en y; es decir f es implícita si y solo si al sustituir f(x) en lugar de y llegamos a una identidad.
Las funciones en “x y y” determinan más de unafunción implícita.
Para derivar una función implícita del tipo: f(x,y)=0 debemos considerar que se efectúa con respecto a x, es decir que al derivar los términos que contienen potenciasde x o constantes, estas se hacen de forma ordinaria. No obstante cuando derivemos términos que contienen potencias de y es necesario aplicar la regla de la cadena por que suponemos quela variable y está definida implícitamente como una función de x.
Existe entonces un método a seguir para encontrar solución a funciones de este tipo, determinado por los siguientes 5pasos:
1) Se derivan ambos miembros de la ecuación con respecto a x.
2) Se transponen todos los términos que no contengan dx/dy del miembro izquierdo al derecho.
3) Setransponen todos los miembros que contienen dx/dy del miembro derecho al izquierdo.
4) Una vez agrupados los términos semejantes, se factoriza la expresión del lado izquierdo , donde dx/dy esel factor común de todos los términos.
5) Se despeja dx/dy dividiendo ambos miembros de la ecuación por el factor del miembro izquierdo que no contiene dx/dy.
Ejemplo:
Suponiendoque la ecuación y4 + 3y – 4x3 = 5x + 1determina implícitamente una función derivable tal que y = f(x), encuentre su derivada.
Solución:
Consideramos a y como un símbolo que denota a f(x)