Derivación parcial implícita

Derivación Parcial Implícita

Funciones explícitas y funciones implícitas
En los cursos de cálculo la mayor parte de las funciones con que trabajamos están expresadas en forma explícita, como enla ecuación:

dónde la variable y está escrita explícitamente como función de x. Sin embargo, muchas funciones, por el contrario, están implícitas en una ecuación. La función y = 1 / x, vienedefinida implícitamente por la ecuación: x y = 1.
Si queremos hallar la derivada  para esta última ecuación, lo hacemos despejando y, así, y = 1 / x = x -1, obteniendo su derivada fácilmente: 
El métodosirve siempre y cuando seamos capaces de despejar y en la ecuación. El problema es que si no se logra despejar y, es inútil este método. Por ejemplo, ¿cómo hallar dy/dx para la ecuación x2 - 2y3 + 4y =2, donde resulta muy difícil despejar y como función explícita de x?
El método de regla de la cadena para funciones implícitas
Ya sabemos que cuando se derivan términos que solo contienen a x, laderivación será la habitual. Sin embargo, cuando tengamos que derivar un término donde aparezca la y, será necesario aplicar la regla de la cadena.
Ejemplo 1:
Aquí las variables coinciden: se derivanormalmente.
Ejemplo 2:
Aquí las variables no coinciden: se usa regla de la cadena.
Ejemplo 3:
Hallar, de la función implícita:

Aplicando la notación, a cada término y extrayendo lasconstantes;

En el primer término las variables coinciden, se deriva normalmente, en el segundo término se aplica la derivada de un producto (primer paréntesis cuadrado), lo mismo en el tercer término.La regla de la cadena se aplica el término, como puede observarse a continuación claramente en el segundo paréntesis,
Quitando paréntesis y ordenando los términos,
Pasando algunos términos al ladoderecho,
Extrayendo el factor común,
Y finalmente despejando, obtenemos la respuesta requerida:

dy/dx con derivadas parciales
Mucho del trabajo anterior podría omitirse se usáramos la...