Derivacion De Funciones Exponenciales Y Logaritmicas

Derivadas de funciones exponenciales y logaritmicas
Ahora tenemos que deducir las reglas para derivar las funciones exponenciales y las logaritmicas.
Empezamos con la función y = logax
Ejemplo 1
Deduce la regla para calcular la derivada de la función:
y = loga x
 Empezamos considerando el cociente de incementos:
f (x + Dx) f (x)
Dx
=
loga(x + Dx) loga x
Dx=
1
Dx



loga(x + Dx) loga x


 Por las propiedades de los logaritmos podemos escribir:
1
Dx
loga

x + Dx
Dx

=
x
Dx


1
x

loga

x + Dx
Dx

=
1
x

loga

x + Dx
x
x/Dx
=
1
x

loga

1 +
Dx
x
x/Dx
 Por definición del número e, ya sabemos que el límite:
lim
Dx!0

1 +
Dx
x
x/Dx
= e
porque cuando Dx tiendea cero, el cociente x/Dx tiende a infinito, mientras que el cociente
Dx/x tiende a cero.
 Y por definición de derivada, tenemos que calcular el límite:
dy
dx
= lim
Dx!0

1
Dx


loga(x + Dx) loga x


=
1
x

lim
Dx!0

loga

1 +
Dx
x
x/Dx
!
=
1
x

loga lim
Dx!0
(1 + u)1/u
=
1
x

loga e
 Entonces, la regla de derivación paralafunción y = loga x, es:
dy
dx
=
1
x
loga e
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Profr. Efraín Soto Apolinar.
Ejemplo 2
Deduce la regla de derivación de la función:
y = ax
 Eneste caso, tenemos que calcular el límite:
lim
Dx!0

ax+Dx ax
Dx
!
 Pero como la función logaritmica es inversa de la función exponencial, también podemos
ver que si y = ax,entonces se sigue que:
x = loga y
 Nosotros ya sabemos cómo derivar esta función.
 Pero observa que en ésta, estamos considerando a x como una función de y.
 Así que tendremos quederivar a x respecto de y:
dx
dy
=
1
y
loga e
 Pero nosotros no queríamos calcular esta derivada, sino
dy
dx
.
 Para eso se requiere del uso de la regla de la cadena, tema que