Derivacion de funciones

Unidad III Derivación de funciones
Objetivo de la unidad: Identificar la derivada como la función que representa la variación entre las dos variables de la función original.

Definición y simbología de la derivada.

En los antecedentes se menciono como se llego al concepto de “ derivada ” .

Definición: La derivada de una función es otra función que deriva de la primera, de ahí su nombre,y que permite analizar la variación de la función original.

La derivada de una función se denota por : y’, [pic], [pic]
Para llevar a cabo estas actividades retomaremos el ejemplo que se hizo sobre derivada en la introducción.
Un objeto se lanza en tiro vertical con una velocidad inicial de 39.2 m / seg,, el fenómeno se puede representar con la siguiente ecuación:S = 39.2 t – 4.9 t 2

Para trazar la grafica evaluar la ecuación en un intervalo de 0 < t < 10
Los resultados serán los siguientes:

|Tiempo |Altura |
|0 |0 |
|1 |34.3 |
|2 |58.8 |
|3 |73.5 |
|4 |78.4 |
|5|73.5 |
|6 |58.8 |
|7 |34.3 |
|8 |0 |
|9 |-44.1 |
|10 |-98 |

Al graficar el tiempo en el eje horizontal y la altura en el eje vertical.

s

t

Como se observa en la tabla el tiempo total del movimiento son ocho segundos y la altura máxima quealcanza es de 78.4 m.
Otra cosa que hay que remarcar es que al principio del movimiento los cambios en la altura son mayores que antes de llegar a la altura máxima.
Para saber la velocidad que lleva el objeto recordemos la definición de velocidad: es el cambio de posición en un lapso de tiempo determinado.
[pic]
Al principio se obtiene una velocidad positiva,estos valores van disminuyendo y entre el segundo tres y cinco la velocidad es cero que corresponde al punto en donde el objeto alcanza la altura máxima.

V = (34.3 – 0 ) / ( 1- 0 ) = 34.3 m / seg

V = ( 58.8 – 34.3 ) / ( 2 – 1 ) = 24.5

V = ( 73.5 – 58.8 ) / ( 3 – 2 ) = 14.7

V = ( 78.4 – 73.5 ) / ( 4 – 3 ) = 4.9

V = ( 73.5 – 73.5 ) / ( 5 – 3 ) = 0

V = ( 58.8 – 73.5 ) / ( 6 – 5 ) = -14.7

s

t

v

39.2 m / seg

T

Conclusiones
o La noción de función puede ser observada como un resultado del esfuerzo humano para resolver problemas prácticos, problemas de cambio.
o Se llama derivada a una función porque deriva de la original y muestra como es la variación de las dos variables, en este caso la altura y el tiempo.
o Entender elcomportamiento de una variable en función de otra implica poder determinar los intervalos de variación en los cuales la variable, crece, decrece o permanece constante: lo mismo que la rapidez con la que varía.
o La variación puede representarse utilizando tablas de datos, graficas o expresiones analíticas.
o Que la derivada es la función que representa la rapidez de la variación.
oQue el valor de la derivada para un valor determinado de la variable independiente es el valor de la rapidez con que varia la función en ese punto.
o Que en la gráfica de una función el valor de la derivada de la función en un punto, esta representado por el valor de la pendiente de la recta tangente a la gráfica en el punto.
Analizar la variación de la rapidez de la variación en la gráficade la función observando cómo varia la pendiente de la recta tangente a la curva en los diferentes puntos de la curva.

Interpretación geométrica de la derivada

Para ejemplificar retomemos la ecuación del objeto en una caída libre[pic] Tomemos un punto c y un segundo punto colocado a una distancia h del primero

Sus puntos sobre la curva serán [pic] y [pic] al trazar una recta entre los...