Derivacion en espacios normados

Derivaci´n en espacios normados o
Pablo Mart´ Rodr´ ın ıguez

rodriguezpablom@hotmail.com DNI 28075303 Domicilio; General Roca 181, (9005) Comodoro Rivadavia, Chubut Libreta Universitaria 14-06/7101, Facultad de Ingenier´ ıa Universidad Nacional de la Patagonia ”San Juan Bosco”

XII Concurso de Monograf´ Premio Manuel Balanzat ıas, ´ ´ UNION MATEMATICA ARGENTINA

´ Indice
Introducci´n .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 1

1 La Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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2 Propiedades y Reglas de Derivaci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o

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3 El Teorema del Valor Medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

4 La Falla del Teorema de Rolle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

5 Derivadas Parciales . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

6 Teoremas de la Aplicaci´n Inversa e Impl´ o ıcita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

Bibliograf´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 18 ıa

Derivaci´n en espacios normados o

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Introducci´n o
La derivaci´n de funciones de variable real y a valores reales es uno de los primeros procesos fundameno tales de la matem´tica. Recordemos que la derivabilidad de una funci´n f en un punto a de R est´ determia o a nada por la existencia del l´ ımite, f (a) = lim
x→a

f (x) − f (a) ; sin embargo, esta igualdad carece desentido si x−a f (x) − f (a) − λ(x − a) = 0. x−a

analizamos funciones f : Rn −→ Rm . De hecho, decimos que una funci´n f de este tipo es diferenciable en o el punto a de Rn si existe una aplicaci´n lineal λ : Rn −→ Rm tal que, lim o
x→a

Observemos que para lograr esta noci´n m´s general de diferenciabilidad fue necesario expresar la definici´n o a o inicial considerando las respectivas normas yla existencia de una aplicaci´n lineal determinada. M´s a´n, o a u decimos que la funci´n se aproxima localmente a esta aplicaci´n encontrada. o o Si analizamos detenidamente esta segunda definici´n, podremos observar que aunque representa una o c´moda extensi´n de la primera, nos limita a trabajar en espacios vectoriales de dimensi´n finita, depeno o o diendo de este modo del sistema particular decoordenadas o de la base que fijemos. Estas limitaciones son las que motivan una definici´n de diferenciabilidad y de derivada m´s amplia que o a la anterior, de manera que las ideas vistas queden inclu´ ıdas como caso particular de esta nueva noci´n de o diferenciabilidad. De este modo, se origina la teor´ de derivaci´n en espacios normados; una importante ıa o generalizaci´n del c´lculodiferencial cl´sico iniciado por Newton y Leibniz hacia fines del siglo XVII. o a a Los primeros trabajos que originan esta teor´ fueron realizados en Francia, en la d´cada de 1920, por ıa e los matem´ticos R. Gˆteaux y M. Fr´chet. Gˆteaux dio la primer definici´n de diferenciabilidad de gran a a e a o importancia para este nuevo An´lisis. Desarroll´ su concepto de derivada (derivada direccional) en 19221 . ao No obstante, fue Fr´chet quien en 19252 extendi´ el concepto de diferenciabilidad a los espacios normados e o (o como se los llamaba en aquella ´poca, ”vectoriels abstraits distanci´s”) ampliando la noci´n de derivada e e o dada por Gˆteaux y demostrando que su definici´n conserva las propiedades esenciales de la definici´n del a o o An´lisis cl´sico. a a El prop´sito de esta monograf´ es el de...