derivacion implicita y derivadas de orden superior


UNIVERSIDAD RURAL DE GUATEMALA
SEDE, SAN FELIPE, REU.





ING. SAÚL LÓPEZ.

MATEMÁTICA IV.







“DERIVACIÓN IMPLICITA Y DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR”




DUEÑAS ESCOBAR, ROBIN OLIVERIO 12-105-0095
MONTESDEOCA, JULIO AUGUSTO 12-105-0042
GARCÍA IXCOY, LEIDY RUBI 12-105-00
CHANCHAVAC IXCOY, ANA ZENAIDA 12-105-00
BARRIOS SIGÜENZA, AMPARO MARICELA12-105-0043


4to. SEMESTRE ADMINISTRACIÓN Y AUDITORIA





DOMINGO 13/10/2013



DERIVACIÓN IMPLÍCITA

En General las funciones se han presentado de la forma, expresando una variable en términos de la otra, pero se da el caso donde las 2 variables están implícitas.

En los cursos de cálculo la mayor parte de las funciones con que trabajamos están expresadas en forma explícita, como en laecuación dónde la variable y está escrita explícitamente como función de x. Sin embargo, muchas funciones, por el contrario, están implícitas en una ecuación. La función y = 1 / x, viene definida implícitamente por la ecuación: x y = 1.

Estrategia para la Derivación Implícita

1. Derivar ambos lados de la ecuación respecto de x

2. Agrupar todos los términos en que aparezca  en el ladoizquierdo de la ecuación y pasar todos los demás a la derecha.

3. Sacar factor común  en la izquierda.

4. Despejar, dividiendo la ecuación por su factor acompañante en la parte izquierda.

EJEMPLO # 1
Si  , encontrar.

Derivamos ambos lados de la ecuación.






Recordemos que y es una función de x por lo que al derivarla aplicaremos la regla de la cadena.


Y resolvemos para.EJEMPLO #2
Encontrar y' de: 

 

Aplicamos logaritmo natural en ambos lados de la ecuación, para quitar el exponente x. 

 

Por leyes de los logaritmos. 

 

Derivamos implícitamente. 
 
 

Despejamos y'- 
 

Sustituimos y. 






EJEMPLO #3

 

Derivamos implícitamente: 

 

Dejamos y prima de un solo lado 

 

Aplicamos Factor común y prima  

dividimos  de ambos lados 


EJEMPLO # 4










Cambiamos el cos (y) a función de sen (y) que sería



despejamos cos (y)



Respuesta:




EJEMPLO # 5









Cambiamos el sen (y) a función de cos (y) que sería



despejamos sen (y)



Respuesta:














DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR

  Sea f(x) una funcióndiferenciable, entonces se dice que f '(x) es la primera derivada de f(x). Puede resultar f '(x) ser una función derivable, entonces podríamos encontrar su segunda derivada, es decir f(x). Mientras las derivadas cumplan ser funciones continuas y que sean derivables podemos encontrar la n-ésima derivada. A estas derivadas se les conoce como derivadas de orden superior.

Notación
Se utiliza lassiguientes notaciones para representar las derivadas de orden superior:

1ra Derivada
 ;  ;  ;  ;  ; 
2da Derivada
 ;  ;  ;  ;  ; 
3ra Derivada
 ;  ;  ;  ;  ; 
n-Derivada
 ;  ;  ; 
Cuando el orden de la derivada es mayor a o igual a 4 hay ciertas notaciones que ya no se utilizan.

Ejemplo #1

Encontrar la 2da derivada de 
 
Encontramos la 1ra derivada. 
 
Derivamos f'(x). 

 Ejemplo # 2






















Ejemplo # 3
















Ejemplo # 4
















Ejemplo # 5































OBJETIVOS


Obtener la derivada de una función implícita.

Calcular y resolver las derivadas de orden superior.

Practicar y aprender los ejemploscorrespondientes de las derivadas.

Dar a conocer y enseñar a los compañeros operaciones sobre derivación implícita y derivadas de orden superior.

Ampliar nuestro conocimiento matemático.

Desarrollar nuestro aprendizaje por medio de las derivadas

















INTRODUCCIÓN




El presente trabajo contiene información sobre los temas de Derivación implícita y derivadas de...