Derivacion numerica

DERIVACION NUMERICA
Consideremos una función f(x) de la cual se conoce un conjunto discreto de valores (x0, f0), (x1, f1),...,(xn, fn). El problema que vamos a abordar es el de calcular la derivadade la función en un punto x que en principio no tiene porqué coincidir con alguno de los que figuran en los datos de que disponemos. La forma más sencilla de resolver el problema de la diferenciaciónnumérica consiste en estimar la derivada utilizando fórmulas obtenidas mediante la aproximación de Taylor, que se denominan fórmulas de diferencias finitas.
Es importante tener en cuenta que elproceso de diferenciación numérica es inestable.
Los errores que tengan los datos, por ejemplo los cometidos en la adquisición de los mismos o los debidos al redondeo aumentan en el proceso dediferenciación.

FORMULA PARA DIFERENCIA DE DOS PUNTOS
Recordemos que la definición de derivada implica el cálculo de un límite
f´(x)= lim┬(h→o)⁡〖(f(x+h)-f(x))/h〗

Este proceso de paso al límite presentadistintos problemas para ser realizado en situaciones prácticas donde no se conozca la forma explícita de f′(x). En primer lugar un límite no puede calcularse de modo aproximado en un computador dondelos números que se manejan son finitos. A pesar de todo es de esperar que si la función f(x) no se comporta mal y h0 es un número finito pero pequeño se cumpla:
f´(x)= lim┬(h→0)⁡〖(f(x+h)-f(x))/h ≅(f(x+h_0 )-f(x))/h_0 〗

Es más, la misma definición de la derivada implica que si f′(x) existe, entonces hay algún h0 a partir del cual nuestra aproximación dista menos de una cantidad δ del valorreal para la derivada. El problema es que esto sólo es cierto con precisión infinita ya que h0 puede ser tan pequeño que no pueda representarse en el ordenador o que la diferencia f(x + h0) − f(x) estéseriamente afectada por el error de redondeo.
La primera ecuación es la forma más sencilla de aproximar una derivada conocidas f(x) y f(x+h0). El siguiente teorema nos proporciona información sobre...