derivacion numerica

Cap´
ıtulo 2

Derivaci´n num´rica
o
e
Contenidos del cap´
ıtulo
2.1

F´rmulas de diferencias de dos puntos . . . . . . . . . . . . .
o

26

2.2
2.3

Influencia de los errores de truncaci´n y de redondeo. . . .
o
F´rmulas de orden superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o

27
28

2.4

Derivadas de orden superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30Consideremos una funci´n f (x) de la cual se conoce un conjunto discreto de valores
o
(x0 , f0 ), (x1 , f1 ),...,(xn , fn ). El problema que vamos a abordar es el de calcular la derivada
de la funci´n en un punto x que en principio no tiene porqu´ pertenecer a los datos de que
o
e
disponemos. La forma m´s sencilla de resolver el problema de la diferenciaci´n num´rica
a
o
e
consiste en estimarla derivada utilizando f´rmulas obtenidas mediante la aproximaci´n
o
o
de Taylor, que se denominan f´rmulas de diferencias finitas.
o
Es importante tener en cuenta que el proceso de diferenciaci´n num´rica es inestable.
o
e
Los errores que tengan los datos, por ejemplo los cometidos en la adquisici´n de los
o
mismos o los debidos al redondeo aumentan en el proceso de diferenciaci´n comoveremos
o
a lo largo de ´ste cap´
e
ıtulo.

25
Versi´n 30/1/2008
o
http://matematicas.uclm.es/ind-cr/metnum/index.html

Derivaci´n num´rica
o
e

2.1

26

F´rmulas de diferencias de dos puntos
o

Recordemos que la definici´n de derivada implica el c´lculo de un l´
o
a
ımite
f (x + h) − f (x)
f ′ (x) = l´
ım
h→0
h
Este proceso de paso al l´
ımite no puede realizarseen situaciones pr´cticas donde no
a
se conozca la forma expl´
ıcita de f ′ (x) dado que esta operaci´n no puede calcularse de
o
modo aproximado en un computador donde los n´meros que se manejan son finitos. Sin
u
embargo, es de esperar que si la funci´n f (x) no se comporta mal y h0 es un n´mero
o
u
finito pero peque˜o se cumpla que
n
f (x + h0 ) − f (x)
f (x + h) − f (x)
≃
f ′ (x) =l´
ım
h→0
h
h0
Es m´s, la misma definici´n de la derivada implica que si f ′ (x) existe, entonces hay
a
o
alg´n h0 a partir del cual nuestra aproximaci´n dista menos de una cantidad δ del valor
u
o
real para la derivada. El problema es que esto s´lo es cierto con precisi´n infinita ya que
o
o
h0 puede ser tan peque˜o que no pueda representarse en el ordenador o que la diferencia
n
f (x+ h0 ) − f (x) est´ seriamente afectada por el error de redondeo.
e
La ecuaci´n anterior nos proporciona la forma m´s sencilla de aproximar una derivao
a
da conocidas f (x) y f (x + h0 ). El siguiente teorema nos proporciona informaci´n sobre
o
la precisi´n de esta aproximaci´n.
o
o
Teorema. Sea f (x) ∈ C 1 (a, b) y existe f ′′ (x) en (a, b), entonces se cumple que:

f (x + h) − f (x)h ′′
− f (z), x < z < x + h
h
2
Demostraci´n. Escribamos la aproximaci´n de Taylor para la funci´n en un punto x+h:
o
o
o
f ′ (x) =

h2 ′′
f (z), x < z < x + h
2
Reordenando la expresi´n anterior queda demostrado el teorema.
o
f (x + h) = f (x) + hf ′ (x) +

El teorema anterior nos indica que el error cometido al aproximar la derivada primera
por su f´rmula de diferenciaadelantada es proporcional a h. Cuanto menor sea h (o sea
o
al tomar valores de f (x) m´s cercanos) la derivada num´rica ser´ m´s precisa. Este
a
e
a a
error se denomina error de truncaci´n o discretizaci´n y puede acotarse f´cilmente,
o
o
a
a
obteni´ndose que: E ≤ h m´x(x,x+h) |f ′′ (z)|. En realidad, para datos obtenidos a partir
e
2
de una tabla esta acotaci´n no es de gran utilidaddirecta ya que si no se conoce la
o
derivada primera menos a´n se conocer´ la segunda pero al menos nos permite conocer
u
a
el orden de aproximaci´n de la f´rmula.
o
o
Geom´tricamente, el error O(h) procede de aproximar la derivada por la pendiente
e
de la cuerda que une los puntos f (x) y f (x + h), Por otro lado, si existe la derivada
deben existir las derivadas laterales y entonces
f...