Derivacion e integracion

Métodos Numéricos/Análisis
Numérico/ Cálculo numérico

Derivación e integración
numérica
Bibliografía:
Métodos Numéricos – G. Pacce – Editorial EUDENE -1997.
Analisis Numerico – Burden and Faires- Editorial Sudamericana –
1996.
Métodos Numéricos para ingenieros. Chapra y Canale. Ed. Mc Graw
Hill. 5ta. Edición.

DIFERENCIACIÓN NUMÉRICA
Polinomio de interpolación es aplicable para laresolución de
problemas de diferenciación, en general y el cálculo de derivadas, en
particular.
Dada una tabla de valores de la función f(x) para diversos valores de
x, se puede determinar el polinomio de interpolación que, satisfaciendo
a los valores dados, represente con cierto grado de aproximación a f(x).
De acuerdo a lo anterior, es posible calcular, de manera más o
menos precisa, laderivada f'(x), de la función en cuestión.
Se puede hallar en general y por única vez, las derivadas sucesivas
de la fórmula de interpolación y aplicarlas a cada caso particular.

DERIVACION MEDIANTE FORMULAS DE
INTERPOLACION
La metodología descripta implica el uso de cualquiera de las
fórmulas de interpolación antes estudiadas. Se desarrolla un caso
particular.
La fórmula deNEWTON-GREGORY Ascendente, en la cual se ha
hecho la transformación x=x0 +hu, para facilitar su uso:

f ( x ) = f ( x0 + hu ) = f ( x0 ) + ∆f ( x0 )u + ∆2 f ( x0 )
+ ∆3 f (x0 )

u(u − 1)(u − 2)
+Κ
3!

u(u − 1)
+
2!

(8.1)

DERIVACION MEDIANTE FORMULAS DE
INTERPOLACION (2)
Derivando respecto de la variable u, se obtiene:

h f ′(x0 + hu ) = ∆f (x0 ) + ∆2 f (x0 )

2u − 1 3
3u 2 − 6u + 2
+∆ f ( x0 )
+Κ
2
6

y para x=x0 ; vale decir, para u=0, resulta la ecuación:
1
1
1
h f ′( x0 ) = ∆f (x0 ) − ∆2 f ( x0 ) + ∆3 f (x0 ) − ∆4 f (x0 ) +Κ
2
3
4

(8.2)

DERIVACION MEDIANTE FORMULAS DE
INTERPOLACION (3)
Análogamente, para la derivada segunda se obtiene la expresión:
h 2 f ′′( x0 + hu ) = ∆2 f ( x0 ) + ∆3 f ( x0 )(u − 1) + ∆4 f ( x0 )

6u 2 − 18u + 11
+Κ
12

y parax=x0 ; o sea, haciendo u=0, resulta la ecuación:

h 2 f ′′( x0 ) = ∆2 f (x0 ) − ∆3 f ( x0 ) +

11 4
∆ f ( x0 ) −Κ
12

(8.3)

Este procedimiento puede ser iterado tantas veces como se necesite,
para obtener derivadas de mayor orden.

DERIVACION MEDIANTE FORMULAS DE
INTERPOLACION (4)
Si se parte de la fórmula de NEWTON-GREGORY Descendente o, de
las de GAUSS, LAGRANGE, BESSEL, etc.,se encontraran, nuevas
fórmulas de derivación para cada caso en particular, las que, ofrecerán
mayor o menor precisión según la posición relativa del valor de la
variable para el cual se desea calcular las derivadas

DERIVACION MEDIANTE FORMULAS DE
INTERPOLACION (5)
La aplicación de idéntico criterio para la fórmula de NEWTONGREGORY Descendente:
f (xn + hu ) = f ( xn ) + u∇f (xn ) +

u(u+ 1) 2
u(u + 1)(u + 2 ) 3
∇ f ( xn ) +
∇ f ( xn ) +Κ
2!
3!

da como resultado derivando con respecto a u e igualando a cero:
1
1
h f ′( xn ) = ∇f (xn ) + ∇ 2 f ( xn ) + ∇ 3 f ( xn ) +Κ
2
3

(8.4)

como así también:

h 2 f ′′( xn ) = ∇ 2 f ( xn ) + ∇ 3 f ( xn ) +

11 4
∇ f ( xn ) +Κ
12

(8.5)

Introducción a la integración numérica
ETSII-UPM

Planteamiento del problema– Se trata de evaluar la integral definida de una función mediante un sumatorio
de valores de esa función en ciertos puntos llamados nodos, multiplicados por
unos coeficientes de ponderación llamados pesos:

∫

b

a

n

f ( x)dx = ∑ wi f ( xi ) = w1 f1 + w2 f 2 + ... + wn f n
i =1

– Esta expresión implica la sustitución de un sumatorio infinito (la integral) por
un sumatoriofinito, por lo que se producirá un error de truncamiento.
– Se llama grado de precisión de la fórmula de integración al máximo grado de
los polinomios que son integrados exactamente por dicha fórmula.
– Para deducir las fórmulas de integración numérica la función f(x) se suele
sustituir por el polinomio de interpolación p(n)(x) y realizar la integración
exacta de este polinomio.
– Si un...