derivacion

FUNCIONES DERIVABLES.
DIFERENCIAL DE UNA FUNCION
Una vez conocido el concepto de función de Rn en R y su importancia en economía, es preciso generalizar algunas ideas de las funciones reales de variable real, en particular aquélla que nos dé una representación de la variación, tal como la derivada; o bien, aquéllas que nos permitan aproximar el valor de una
función, conocido el valor de lamisma en otro punto cercano.

1. DERIVADAS DIRECCIONALES

Supongamos una empresa que, a partir de n inputs en cantidades respectivas (x1,x2,…xn) produce un
output en cantidad f(x1,x2,…xn).
En estas circunstancias cabe preguntarse, ¿qué ocurriría si en vez de disponer de las cantidades x de
inputs, disponemos de las cantidades x+l v? ¿Cómo variaría la cantidad de cada uno de los bienesproducidos?
DEFINICIÓN

Dada la función f: G⊂ n
punto x0∈G se define como:

, con G abierto; la derivada direccional de f según el vector v∈

lim

n

en el

f ( x0 + λv ) − f ( x0 )

λ →0

λ

en el caso de que dicho límite exista, y lo notaremos por Dvf(x0)

Ejemplo
Sea la función de producción para una determinada empresa

f ( x1 , x 2 ) = x12 x 2
Ahora bien, ¿cómo se modificanlas cantidades producidas si aumentamos en una unidad cada input?
En este caso hemos de buscar el valor de la derivada direccional según el vector (1, 1) Y así hemos de
calcular

f ( x + λv ) − f ( x )
λ( x12 + 2x1x 2 ) + λ2 (λ + 2x1 + x 2 )
= lim
= x12 + 2x1x 2
λ→0
λ→0
λ
λ
lim

es decir, cuando estamos en el punto x y nos movemos en la dirección definida por el vector (1, 1) lavariación
que sufre la función f vendrá dada por

x12 + 2x1x 2
Como ya sabemos, en n hay vectores que son especialmente interesantes como son los que forman la base
canónica; estos vectores, desde el punto de vista económico y considerando n como un espacio de inputs, son
los que nos dan una variación de un input suponiendo fijos los restantes; y de ahí que la derivada direccional,
según estosvectores, nos dé la sensibilidad en la variación de la cantidad producida de output en función de un
input.
A estas derivadas direccionales tan especiales se las conoce con el nombre de derivadas parciales, ya que,
en realidad, consideramos la variación de la producción parcialmente, al suponer como única variación la de un
input.

Podemos entonces decir:
DEFINICIÓN

Dada la función f:G⊂ n
, con G abierto; definimos la derivada parcial i-ésima de f en x0∈G
como la derivada direccional de f según el i-ésimo vector de la base, e¡, en x0∈G y lo notaremos indistintamente como:

Dei f ( x0 ) ≡ Di f ( x0 ) ≡

 ∂f 
∂f
( x0 ) ≡   ≡ f ' x ( x0 )
i
∂xi
 ∂xi  x
0

DEFINICIÓN

Si la derivada direccional de f según un vector v existe para cualquier elemento del abierto G,podemos definir la derivada direccional de f según el vector v sobre G, como la aplicación

Dv f : G → E
x a Dv f ( x )
Sea por ejemplo, la función de producción anterior:

f ( x1 , x 2 ) = x12 x 2
y calculemos:

f ( x + λe1 ) − f ( x )
f [( x1 , x 2 ) + λ (1,0)] − f ( x1 , x 2 )
=
= lim
λ →0
λ →0
λ
λ

D e1 f ( x ) = lim

( x1 + λ) 2 x 2 − x12 x 2
2λx1x 2 + λ2 x 2
= lim
=2 x1 x 2
λ →0
λ→0
λ
λ

= lim

Como podemos observar, el resultado es el mismo que si hubiéramos considerado x2 como una constante; ¿a qué es debido eso?, es debido a que si observamos la expresión que aparece después de la tercera
igualdad, en ella la función “f” puede ser considerada de una variable, la x1 ya que x2 permanece invariable; así pues, si llamamos

g( x1 ) = f ( x1 , x 02 )tendríamos:

D e1 f ( x ) = lim

λ →0

g ( x1 + λ ) − g ( x1 )
λ

Todo este desarrollo es perfectamente válido, cualesquiera que sean las variables y las funciones; así
pues, podemos decir:
Dada la función f: G⊂

n

, con G abierto, para obtener De¡f(x), podemos considerar la función:

f ( x10 ,..., x i0−1 , x i , x i0+1 ,..., x 0n )
como de la única variable xi tomando las...