Derivada aplicada

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Indice

Introducción ..................................................................................3

Área de una región entre dos curvas .............................................4-6

Volumen: Método de discos ..........................................................7-9

Volumen: Método de capas ........................................................10-11

Trabajo,fuerza constante y fuerza variable ..............................12-14

Presión de un fluido y fuerza de un fluido ...............................15-16

Momentos , centroides y centro de masa .................................17-23

Longitud de arco y superficies de revolución .........................24-28

Conclusión..............................................................................29

Bibliografía ............................................................................30

Introducción

Las derivadas y las integrales tienen diferentes campos de aplicación, pero en este caso en particular, nos referiremos a los beneficios que se obtienen mediante el uso de las integrales, lo cual fue tema de la clase de Cálculo II.

Para llevar a cabo estas aplicaciones,nos valimos del uso de dos herramientas elementales:

• Las integrales definidas y
• El Teorema Fundamental del Cálculo Integral

Al tener el conocimiento necesario sobre estos dos puntos se podrá llevar a cabo cualquiera de las aplicaciones aquí mencionadas, sumado claro, con las reglas individuales de cada caso en mención.

APLICACIONES DE
LA INTEGRAL

IParte Área de una región entre dos curvas

Con pocas modificaciones podemos extender la aplicación de las integrales definidas para el cálculo de una región situada por debajo de una curva, al área comprendida de un región entre dos curvas. Si, como en la figura 1.1, las gráficas de ambas, f y g, se localizan por encima del eje x, podemos interpretar geométricamente el área de la región entrelas gráficas como el área de la región situada debajo de la gráfica f menos el área de la región situada debajo de la gráfica de g, como muestra la figura 7.1.

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Si bien en la figura 7.1 muestra las gráficas de f y g sobre el eje x, esto no es necesario y se puede usar el mismo integrando [f(x) – g(x)] siempre y cuando f y g sean continuas y g(x) ( f(x) en el intervalo [a, b]. Se resumeel resultado en el teorema siguiente.

Demostración: Partimos en el intervalo [a, b] en subintervalos, cada uno de
anchura (x y dibujamos un rectángulo representativo de anchura (x y altura f(xi) - g(xi), de donde x está en el i-ésimo intervalo, tal como lo muestra la figura 1.3. El área de este rectángulo representativo es

(Ai = (altura)(anchura) = [f(xi) - g(xi)] (x

Sumandolas áreas de los n rectángulo s y tomando el límite cuando

||(|| ( 0 (n ( (), tenemos

n
lim ( [f(xi) - g(xi)] (x
n ( ( i=1

Por ser f y g continuas en el intervalo [a, b], f-g también es continua en dicho intervalo y el límite existe. Por tanto, el área A de la región dada es
n
A =lim ( [f(xi) - g(xi)] (x = [pic][f(x) – g(x)] dx
n ( ( i=1

Se usan los rectángulos representativos en diferentes aplicaciones de la integral. Un rectángulo vertical (de anchura (x) implica integración respecto a x, mientras un rectángulo horizontal (de anchura (y) implica integración con respecto a y.

Ejemplo 1.1
Hallar e área de la región limitada por lasgráficas de y =x2 +2, y = -x, x =0 y x = 1.
Solución: Hacemos g(x) =-x y f(x) =x2+2, entonces g(x) ( f(x) para todo x en [0, 1], como muestra la figura. Por tanto, el área del rectángulo representativo es
(A = [f(x) - g(x)] (x
= [(x2+ 2) – (-x)] (x
A = [pic] [f(x) – g(x)] dx
=[pic] [(x2 + 2) – (-x)]dx
= [x3/3 + x2/2 + 2x]10...