derivada como rapidez de variación

DERIVADA COMO RAPIDEZ DE VARIACIÓN
SEA LA FUNCIÓN 2y = x
DANDO LOS RESPECTIVOS INCREMENTOS 2y + ∆y = (x + ∆x)
EL INCREMENTO ES 2 ∆y = 2x∆x + ∆x
LA RAZÓN DE INCREMENTOS ∆y/ ∆x= 2x + ∆
∆
∆
2x
y
∆
∆
= ES LA RAPIDEZ MEDIA DE VARIACIÓN DE (y) CON RESPECTO A (x)
CUANDO ∆x → 0 Y TOMANDO LÍMITES:
=
dx
dy ES LA RAPIDEZ INSTANTANEA DE LA VARIACIÓN DE y CON RESPECTO A (x) PARA UN VALORDE x DEFINIDO
ASI: CUANDO (S) ES LA DISTANCIA MEDIA EN UNA RECTA DADA Y ∆S ES UN INCREMENTO DADO
EN UN INCREMENTO DE TIEMPO ∆t , LA RAZÓN DE INCREMENTOS ∆S / ∆t = VELOCIDAD MEDIA Y
dS / dt ,ES LA VELOCIDAD EN UN INSTANTE CUALQUIERA.
ASI LA VELOCIDAD SE PUEDE DEFINIR COMO: LA RAPIDEZ DE CAMBIO DE (S) CON RESPECTO A
(t) , (AL TIEMPO). EN UN INSTANTE CUALQUIERA COMO EL LÍMITE DE LAVELOCIDAD MEDIA CUANDO
∆t TIENDE A CERO
EJEMPLO:
UN HOMBRE CAMINA A 7.5 Km /HORA HACIA LA BASE DE UNA TORRE, QUE TIENE 18 m DE ALTURA.
CON QUE RAPIDEZ SE ACERCA A LA CIMA DE LA TORRE CUANDO SUDISTANCIA A LA BASE DE LA
TORRE ES DE: a) 24 m, b)18 m, c)1m
X = Variable
Y = Constante
Z = Variable
Z
Y
X
EN LA FIGURA
a).- 24,...... 18,...... 24 28 30 2 2 X = Y = Z = + = m
2 22
Z = X + Y DERIVANDO CON RESPECTO AL TIEMPO
(t) EN FORMA IMPLICITA
dt
dY Y
dt
dX X
dt
dZ 2Z = 2 + 2 (Y) ES CONSTANTE
0
2
2
= +
Dt

dX
Z
X
dt
dZ
= = 5.7
dt
dX Vx
)5.7( 6
3024
= = =
dt
dZ Vz Km/hora
b).- 18...... 18,...... 18 18 25 45.
2 2 X = Y = Z = + = m
2 2 2
Z = X + Y DERIVANDO CON RESPECTO AL TIEMPO (t)
dt
dY Y
dt
dX X
dt
dZ 2Z = 2 + 2 (Y) ESCONSTANTE Universidad Autónoma de Aguascalientes Centro de Bachillerato y Secundaria
Elaboro Reviso Expone Departamento de Matemáticas 2007
JRRG FJCE RRM
0
2
2
= +
dt
dX
Z
X
dt
dZ
= = 5.7dt
dX Vx
)5.7( 30.5
25.45
18
= = =
dt
dZ Vz Km/hora
c.- 1...... 18,...... 1 18 18 02.
2 2 X = Y = Z = + =
)5.7( .0 416
18.02
1
= = =
dt
dZ V




 
LA DERIVADA COMO RAPIDEZ DE...