Derivada de la recta tangente

| UNIVERSIDAD ANTONIO NARIÑOCÁLCULO DIFERENCIALGUÍA 10. DERIVADAS |

INTRODUCCIÓN

En esta guía encuentra ejercicios en los que debe asociar la gráfica de una función con la de su derivada y viceversa, determinar la derivada de funciones dadas y utilizar el concepto de derivada para resolver problemas.

OBJETIVOS
* Interpretar el concepto de derivada desde el punto de vista geométrico yfísico.
* Interpretar la derivada de una función como una nueva función.
* Utilizar las reglas de derivación para encontrar la derivada de funciones no elementales.
METODOLOGÍA
En esta guía los estudiantes:
* Leen los conceptos, estudian los ejemplos y resuelven los ejercicios planteados.
* Asisten a las asesorías del tutor programadas por la Universidad.
* Plantean susinquietudes al tutor a través de Chats, correo electrónico, clases virtuales.
* Reciben orientaciones del tutor de manera presencial.
LOGROS
Un estudiante alcanzara sus logros si:

* Asocia la gráfica de una función con la gráfica de su derivada
* Hace un esbozo de la gráfica de la derivada de una función dada
* Halla la derivada de una función dada utilizando las derivadas defunciones conocidas y las reglas de derivación
* Encuentra la ecuación de la recta tangente a una curva dada en un punto
* Resuelve problemas de variación instantánea

CONCEPTOS BÁSICOS

PENDIENTE DE UNA RECTA TANGENTE

Definición:

La pendiente de la recta tangente a la curva en el punto P es:

OTRA DEFINICIÓN

La pendiente de la recta tangente a la curva en el punto P es:EJEMPLO

Halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto (4,2)

En primer lugar hallemos la pendiente de la recta tangente usando límites:

Ahora hallemos la ecuación de la recta con la expresión:

Solución:
VELOCIDAD

La función f(x) que describe el movimiento se conoce con el nombre de función posición del objeto. En el intervalo desde t = ahasta t = b el cambio de posición es
La velocidad promedio en dicho intervalo es:


(donde h es la longitud del intervalo de tiempo (a,b)

La velocidad en el instante t = a (Velocidad instantánea) es:



RAZONES DE CAMBIO

Dada si x cambia de a entonces el cambio en x se llama incremento de x:
El correspondiente incremento de y es

El cociente deestos incrementos se llama Razón de cambio promedio de y con respecto a x

Razón de cambio promedio=

La razón de cambio instantánea de con respecto a x en el punto es:

Razón de cambio instantáneo=






LA DERIVADA

Sea f(x) una función, la pendiente de la recta tangente (m) en un punto dado se llama derivada se llama derivada de f en dicho punto yse escribe:

= Derivada de f en el punto (x,f(x))

Notación
Sea una función, notamos la derivada así:
En un punto particular (a,f(a)) escribimos:

EJEMPLO

Halle la derivada de en x = 2



En x = 2 la derivada es: 2(2)=4

La derivada de es

Generalización

Si usamos límites para hallar la derivada de obtenemos:PROPIEDADES DE DERIVACIÓN

Sean f , g dos funciones entonces:

1. 2. 3.

4.




DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR


Sea y = f(x) una función entonces:

es la primera derivada o derivada de primer orden
es la segunda derivada o derivada de segundo orden

es la tercera derivada o derivada tercer orden
.
..
.
es la enésima derivada o derivada de orden n


EJEMPLO

1. Halle todas las derivadas de orden superior para

2. Halle la tercera derivada de

REGLA DE LA CADENA

Si f(u) es derivable en y g(x) derivable en x, entonces la compuesta es derivable en x. Además:

Usando la notación de Leibniz, si entonces:

REGLA DE LA CADENA PARA POTENCIAS

Si es una función...