Derivada de un producto de dos funciones

  Derivada de un producto de dos funciones 
     
 (y escribiendo u y v, para abreviar) 
 
    
 
En resumen:                 
 
 
 “La derivada de un producto de dos funciones es igual a laderivada de la primera función por la segunda sin derivar, más la primera función sin derivar por la derivada de la segunda”
 
Ejemplos:
   a)  Sea  . Como evidentemente se trata del producto de la funciónexponencial natural por la función logaritmo neperiano , aplicando la regla obtenida tendremos:
         
 
   b)  Sea  , producto de una función polinómica por una exponencial de base 2. Por tanto:         
 
   c)  Sea , que puede considerarse producto de la función identidad  por la función raíz cuadrada . En este caso, y aplicando la regla de derivación de un producto tendremos:             
 
No obstante, la función dada podría haber sido derivada de otra forma más fácil, si antes de derivar nos fijamos en que es un producto de dos potencias de x. Es decir:  . Y entonces la podemos derivar como unasimple función potencial, obteniendo:
  
 
resultado que, si en principio parece no coincidir con el obtenido anteriormente, puede comprobarse que en realidad sí coincide, ya que
      
 
   d) Sea  , producto de las funciones    y  , cuyas derivadas respectivas son    y  . Entonces la derivada del producto será:
           
 
 
   e)  Sea , producto de las funciones    y  , cuyas derivadasrespectivas son    y  . Entonces la derivada de  será:
       
   f)  Sea  , producto de la función exponencial de base 7 por la función raíz cuadrada. Su derivada será, pues:
         
 
   g) Sea . Si latomamos tal cual está, es evidentemente el producto de dos funciones polinómicas y como tal se podrá derivar:
         
         
         
 
         No obstante, es elemental que podríamos haberefectuado el producto de los dos polinomios antes de derivar, con lo cual hubiéramos tenido:
         
y ahora la derivación es mucho más fácil:
         
 
Los siete ejemplos anteriores...