derivada de una funcion 2014







Material de apoyo y guía para los examenes (apuntes para el curso de cálculo)
(Elaboro m. Bernàldez)


DERIVADA DE UNA FUNCION

OBJETIVOS

1.- definir el concepto de derivada de una función
2.- Comprender la interpretación geométrica de la derivada
3.- Comprender la interpretación analítica de la derivada
4.- Aplicar la definición de derivad en problemas

La derivada de una función, esel procedimiento para obtener una nueva función, tiene una interpretación específica en las diferentes áreas del conocimiento humano.
Para definir este concepto partamos de las siguientes preguntas:

¿Qué es un incremento?
¿Cuál es la relación entre las rectas secante y tangente con la derivada?
¿Qué representa la derivada geométricamente?

Partimos de la afirmación de que la regla decorrespondencia de una función es una formula matemática que tiene una representación geométrica llamada grafica




























Que podemos deducir de la figura anterior

1º Que la curva representa a una función cualesquiera con regla de correspondencia f(x)
2º Que por dos puntos de esta curva pasa una recta secante
3º Que la absisa
4º Que la ordenada
5º que la pendiente de la rectasecante esta dada por el cociente de incrementos
Ahora supongamos que el punto P1 lo podemos mover tan próximo al punto P que sucede lo siguiente
















































Observemos los siguientes ejemplos

Obtener la derivada de la funciona

El objetivo es aprender a aplicar la formula
Observemos detenidamente:




Su interpretación grafica es:


Ejercicios
Obtenerla derivada de cada una de las siguientes funciones





Teoremas para derivar una función

En la sección anterior hemos definido que la derivad de una función es

Ahora bien, la derivada de cualquier función la puedes obtener a partir de la formula anterior, mas sin embargo a partir de la formula anterior se pueden deducir otras formulas que simplifican el procedimiento para obtener laderivada de una función, a estas formulas les llamamos TEOREMAS.















































LA APLICACIÓN DE LA TABLA DE TEOREMAS PARA OBTENER LA DERIVADA DE UNA FUNCION SE MUESTRAN LOS SIGUIENTES EJEMPLOS.

EJEMPLO 1.


EJEMPLO 2
Observa. Analiza y finalmente podrás deducir que en este ejemplo se aplicaron los teoremas T.11; T.5; y T.10


EJEMPLO 3
Observa. Analiza y finalmentepodrás deducir que en este ejemplo se aplicaron los teoremas T.13; T.9 y T.8.



EJEMPLO 4

Observa. Analiza y finalmente podrás deducir que en este ejemplo se aplicaron los teoremas: El teorema de la suma; T.17; T.18; T.3 y T.5.



EJEMPLO 5.
Observa. Analiza y finalmente podrás deducir que en este ejemplo se aplicaron los teoremas: El teorema de la suma; T.13; T.19; T.22 y T.4.






Derivadassucesivas o de orden superior

Recordemos… la derivada es un tipo de limite ¿cierto? Tiene una definición que ya sabemos ¿cierto?, a partir de esta se deducen los teoremas para simplificar el proceso de derivación de una función, conocemos teoremas para derivar funciones algebraicas, trigonometricas, exponenciales y logarítmicas ¿cierto?. Si en todo esto estamos de acuerdo entonces habrás comprendidoque la derivada de una función es otra nueva función y por lo tanto esta puede volverse a derivar tantas veces como sea necesario.
A este proceso se le llama derivadas sucesivas, por ejemplo


Ejemplo resuelto 1.
Obtener la segunda derivada de la función

-------- Primera derivada de f(x)
-------- segunda derivada

Ejemplo resuelto 2
Determina f``(x) de la función


Hasta aquíla primera derivada de f(x). Ahora determinemos la segunda derivada o sea la función resultante volvámosla a derivar

Esta función en si esta compuesta inicialmente por dos funciones que se están multiplicando, por lo tanto


Observemos detenidamente el resultado anterior y veremos que hay dos funciones por derivar, la primera es una división de funciones y la segunda es la secante de un...