Derivada direccional, maximos y minimos.

UNIVERSIDAD DE PAMPLONA FACULTAD DE CIENCIAS BASICAS DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS TALLER DE CÁLCULO MULTIVARIABLE. TEMAS: DERIVADA DIRECCIONAL, MAXIMOS Y MINIMOS. PROFESORA: MARYURI ASTRID BORRERO R.1. La temperatura T en un punto ( x, y, z ) de un sistema de coordenadas rectangulares en el espacio está dada 100 por la formula T = 2 . x + y2 + z2 a. Calcular la razón cambio de T con respecto ala distancia en el punto p(1,3,−2) en la dirección del vector a =i− j+k . b. En qué dirección a partir de p aumenta más rápidamente T . c. Cuál es la máxima variación de T en p. 2. La densidad (masapor unidad de volumen) de una bola metálica con centro en el origen viene dada por la función 2 2 2 ρ ( x , y , z ) = ke − (x + y + z ) siendo k una constante positiva. a. En qué dirección se produceel aumento más rápido de densidad en el punto ( x, y, z ) . Cuál es el coeficiente de variación en este aumento de densidad? b. En qué dirección decrece más rápidamente la densidad? c. Cuáles son loscoeficientes de variación de la densidad en ( x, y, z ) y en las direcciones de i, j, k . 3. Suponga que, en cierta región de espacio, el potencial eléctrico V esta dado por: V ( x, y, z ) = 5 x 2 − 3xy + xyz

a. Encuentre la razón de cambio del potencial en p (3,4,5) en la dirección del vector v = i + j − k . b. Cuál es la mayor razón de cambio en p. 4. El potencial eléctrico v en un punto p (x, y, z ) de un sistema de coordenadas rectangulares esta dado por 2 2 2 v = x + 4 y + 9 z . Calcule la tasa de cambio de v en p(2,−1,3) en la dirección de p al origen. Encuentre la dirección queproduce la máxima tasa de cambio de v en p . Cuál es la tasa máxima de cambio en p. 5. Encuentre los valores máximo y mínimo absolutos de f del conjunto D . a. f ( x, y ) = 1 + xy − x − y , D es laregión acotada por la parábola y = x 2 y la recta y=4 b. f ( x, y ) = 2 x 3 + y 4
D = ( x, y ) : x 2 + y 2 ≤ 1

{

}

6. Hallar el valor mínimo adoptado por la 2 función f ( x, y ) = x 2 + ( y −...