Derivada Direccional Teoria

DERIVADA DIRECCIONAL
Queremos averiguar cómo varía la función z = f(x,y) en el punto ( x0 ,y0 ), si se incrementa este, en una dirección cualquiera. Esta dirección viene dada por un vector unitario u = cos ( i + sen ( j donde ( es el ángulo que forma con el eje positivo de las x .
En este caso para diferenciarla de las derivadas parciales se la llama derivada direccional. Gráficamente,en el dominio de f :
( x0 , y0 ) es el punto sin incrementar
u = cos ( i + sen ( j vector unitario que indica la dirección en la que se incrementa
t.u = t. cos ( i + t. sen ( j es el vector incremento cuyo módulo es t
(x , y) = ( x0 + t cos ( , y0 + t sen ( ) es el punto incrementado en la dirección de u




(x,y)
y0u tu


x0


Definición:

Sea z = f (x,y) una función definida en una región abierta S del plano, ( x0 , y0 ) un punto interior a S, y u un vector unitario definido como u = cos ( i + sen ( j , siendo ( el ángulo que forma con el eje de las x.
Si existe el siguiente límite:
[pic]

Se llama derivada de la función en el punto (x0 , y0), según ladirección del vector u, y se anota

D u f ( x0 , y0 )

Ej:

Hallar la derivada direccional de la siguiente función en el punto (1 , 1), según la dirección del vector
u = [pic]
[pic]
El punto sin incrementar es (1 , 1)
cos ( = [pic] sen ( = [pic]
El punto incrementado es [pic]
Reemplazando en el cociente incremental nos queda:
[pic]
[pic]

INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADADIRECCIONAL

Incrementamos al punto ( x0 , y0 ) en la dirección del vector u , y trazamos un plano vertical que contenga al punto sin incrementar y al incrementado.
La traza de la superficie con dicho plano es una curva ( en azul). La derivada direccional representa la pendiente de la recta tangente a dicha curva en el punto ( x0,y0,f(x0,y0))




















TEOREMA DE LADERIVADA DIRECCIONAL:

Sea u = cos ( i + sen ( j el vector unitario, si z = f ( x ,y ) es diferenciable en (x0 , y0 ) entonces la derivada direccional en dicho punto en la dirección del vector u está dado por:
D u f ( x0 , y0 ) = [pic]

Demostración:
Por definición de derivada direccional, sabemos que:
[pic]

pero como (, x0 e y0 son números fijos, la expresión f ( x0 + t cos ( ,y0 + t sen () depende solo de t , por lo tanto podemos igualarla a una función g de una variable:
g ( t ) = f ( x0 + t cos ( , y0 + t sen () si hacemos t = 0 entonces g ( 0 ) = f ( x0, y0) si reemplazamos en la definición de derivada:
D u f ( x0 , y0 ) = [pic]
pero si f es diferenciable , la función g es derivable, por lo tanto, el resultado del cociente incremental es g ’(0) ( laderivada de g en cero)
Por lo tanto:

D u f ( x0 , y0 ) = g’(0)


Calculemos entonces g’

Si g ( t ) = f ( x0 + t cos ( , y0 + t sen () = f ( x , y ) siendo x = x0 + t cos ( e y= y0 + t sen ( Entonces, usando regla de la cadena :
g’(t) = [pic]
si t = 0 nos queda:
g’(0) = [pic] I
como x = x0 + t cos ( e y = y0 + t sen ( entonces :
[pic] [pic]reemplazando en I nos queda :
D u f ( x0 , y0 ) = g’(0) = [pic]
Que es la fórmula que queríamos demostrar.
Ejemplo: Resolveremos el mismo ejercicio anterior para comparar resultados:
Hallar la derivada direccional de la siguiente función en el punto (1 , 1), según la dirección del vector
u = [pic]
[pic]
(f(x,y) = [pic]
D u f ( x0 , y0 ) = [pic]

Reemplazando:

D u f ( x0 , y0 ) =[pic]

Vemos que se obtiene el mismo valor. Pero esta fórmula sólo se puede usar cuando la función es diferenciable en el punto.


DERIVADA DIRECCIONAL COMO PRODUCTO ESCALAR


I) Vector gradiente


Definición :

Si existen las derivadas parciales primeras de la función z = f (x,y) en el punto (x0,y0), se puede formar el siguiente vector llamado Vector Gradiente:
[pic]...