Derivada direccional y gradiente

2.9 DERIVADAS DIRECCIONALES Y GRADIENTES

Analicemos la función [pic] y el punto [pic]dados en el dominio D. De este punto tracemos el vector S, cuyos cosenos directores son [pic], tomemos un punto[pic] sobre el vector S a una distancia [pic]de su origen. Entonces:

[pic].
Supongamos que la función [pic] es continua y tiene derivadas parciales continuas (respecto a sus argumentos) en eldominio D. Representemos el incremento total de la función así:

[pic], (1)

donde [pic] tienden a cero cuando [pic]. Dividamos la ecuación (1) por [pic]:

[pic], (2)
aquí[pic], de donde
[pic] (3)
El límite de la razón [pic] cuando [pic] se llama derivada de la función u en el punto [pic] en la dirección del vector S y se denota por [pic], es decir

[pic](4) por lo tanto
[pic] (5)










De esta forma se deduce que conociendo las derivadas parciales, es fácil hallar la derivada siguiendo la dirección del vector S. Las derivadasparciales son un caso particular de la derivada direccional. Por ejemplo para (=0, (=((2, (=((2 tenemos

[pic].
Ejemplo 2. Sea la función [pic], hallar la derivada [pic] en le punto [pic]

a)siguiendo la dirección del vector S1=[pic],
b) siguiendo la dirección del vector S2=[pic].
Solución a) hallemos los cosenos directores del vector S1

[pic] de donde

[pic]

Las derivadasparciales en el punto [pic] son

[pic];
[pic]
así [pic].

b) Hallemos los cosenos directores del vector S2
[pic]
por lo tanto [pic]


GRADIENTE

En cada punto del dominio D de la función [pic]determinemos un vector, cuyas proyecciones sobre los ejes de coordenadas son los valores de las derivadas parciales [pic] de esta función en el punto correspondiente.

[pic] (1)

Estevector se llama gradiente de la función u. Puede decirse que en el dominio esta definido el campo vectorial de gradientes.

Teorema. Sea el campo escalar [pic] en el que está definido el campo de...