Derivada direccional

Derivada direccional
En el análisis matemático, la derivada direccional de una función multivariable sobre un vector dado, representa la tasa de cambio (pendiente) de la función en la dirección de dicho vector. Este concepto generaliza a las derivadas parciales, ya que estas son derivadas direccionales en los vectores paralelos a los ejes.
Definición: (Derivadadireccional) Sea f: D ∁ R2 → R una función escalar y sean P = (x0; y0) є D y μ= (a; b) un vector unitario, entonces la derivada direccional de f en P = (x0; y0) en la dirección del vector μ; está dada por:

D μ f (P) = D μ f (x0; y0)

= limh→0fP+h μ-f(P)h

= limh→0fx0+ha, y0+hb-f(x0, y0)hObservación: Al comparar la definición de derivada parcial con la de derivada direccional, podemos notar que si μ = (1; 0) entonces D μ f (P) = fx(P) y si μ = (0;1) entonces Dμ f (P) = fy(P) , es decir, las derivadas parciales son derivadas direccionales en la dirección de los vectores canónicos.

EJEMPLO 1:
Calcule la derivada direccional de f (x; y) = 4 –x2 – y2 en el punto P = (1, 1, 2) en ladirección del vector
u =12+12
Solución:

Usando la definición de derivada direccional, tenemos que:

Demostración
El caso más sencillo de la derivada direccional se da en el espacio tridimensional. Supóngase que se tiene una función diferenciable. La derivada direccional según la dirección de un vector sería:

El primero de estos límites puede calcularse mediante el cambio lo cual lleva, porser diferenciable la función[1] f, a:

Procediendo análogamente para el otro límite se tiene que:

Resultado que trivialmente coincide con el producto escalar del gradiente por el vector :

Suponga que deseamos calcular la tasa de cambio de z en el punto (x0; y0) en la dirección de un vector unitario arbitrario μ = (a; b), para esto consideremos la superficie S con ecuación z = f (x; y) (lagráfica de f(x)) y sea z0 = f (x0; y0). Entonces el punto P = (x0; y0; z0) está sobre S. El plano vertical que pasa por el punto Pen la dirección del vector ¡!u interseca a la superficie S en la curva C. La pendiente de la recta tangente T a la curva C en el punto P es la tasa de cambio de z en la dirección del vector μ

Si Q = (x; y; z) es otro punto sobre la curva C, y sean P’ y Q’ lasproyecciones sobre el plano xy de los vectores P’ y Q’, entonces el vector P'Q' es paralelo al vector μ, y por consiguiente

Para algún escalar h. Así pues,
x - x0 = ha → x = x0+ha
y - y0 = hb → y = y0+hb

y la razón de cambio está dada por
∆zh = z-z0h = fx0+ha, y0+hb-f(x0, y0)h
y al tomar el límite cuando h → 0 obtenemos la tasa de cambio instantánea de z(con respecto a la distancia) en ladirección de μ; la cual se llama derivada direccional de f en la dirección de μ .

GRADIENTE, DERIVADAS DIRECCIONALES Y PLANO TANGENTE
Con propósitos de cálculo, la definición de derivada direccional no es muy útil, por lo que en general se usa la fórmula que se presenta en el siguiente teorema.

Teorema 4.1 Sea f: D ∁ Rn → R una función escalar diferenciable en D; entonces f tiene derivadadireccional en la dirección de cualquier vector no nulo μ= (a, b) y está dada por:


Vector gradiente.

(Vector Gradiente) Sea f : DcRn → R una función (o campo) escalar
Diferenciable en una región R; entonces la función (o campo) gradiente de f es la función
Vectorial ∇f : R c Rn → R definida por∇f (x1;x2; :::;xn) = ( fx1 (x;y); fx2 (x;y); :::; fxn (x;y))

En el caso f : Dc R2 → R

∇f (x;y) = ( fx(x;y); fy(x;y)) =∂f∂x i+∂f∂yj

En el caso f : D c R3→R

∇f (x;y; z) = ( fx(x;y; z); fy(x;y; z) fz(x;y; z)) =∂f∂x i+∂f∂yj+∂f∂zk

PLANO...