DERIVADA DIRECCIONAL

Derivada direccional
En el análisis matemático, la derivada direccional de una función multivariable sobre un vector dado, representa la tasa de cambio de la función en la dirección de dichovector. Este concepto generaliza a las derivadas parciales, ya que estas son derivadas direccionales en los vectores paralelos a los ejes.

Suponga que deseamos calcular la tasa de cambio de  en elpunto  en la dirección de un vector unitario arbitrario . Para esto consideramos la superficie  con ecuación  (la gráfica de ) y sea . Entonces el punto  está sobre . El plano vertical que pasa por elpunto en la dirección del vector interseca a la superficie  en la curva .
Definición

Un diagrama de curvas de nivel de la ecuación , mostrando el vector gradiente en azul, y el vector unitario escaladopor la derivada direccional en la dirección de  en anaranjado. El vector gradiente es más largo porque apunta en la dirección de la mayor tasa de incremento de una función.
Definición general
Laderivada direccional de una función escalar:

en la dirección del vector:

es la función definida por el límite:

Si la función es diferenciable, puede ser escrita en término de su gradiente donde "" denota el producto escalar o producto punto entre vectores. En cualquier punto , la derivada direccional de f representa intuitivamente la tasa de cambio de f con respecto al tiempo cuando seestá moviendo a una velocidad y dirección dada por  en dicho punto.
Definición solo en la dirección de un vector
Algunos autores definen la derivada direccional con respecto al vector  después de lanormalización, ignorando así su magnitud. En este caso:

Si la función es diferenciable, entonces

Esta definición tiene algunas desventajas: su aplicabilidad está limitada a un vectorde norma definida y no nula. Además es incompatible con la notación empleada en otras ramas de la matemática, física e ingeniería por lo que debe utilizarse cuando lo que se quiere es la tasa de incremento...