Derivada Direccional
VECTOR GRADIENTE.
Definición 4.1 (Vector Gradiente) Sea f : D ⊆ Rn −→ R una función (o campo) escalar diferenciable en una región R, entonces la función (o campo) gradiente de f es la función
vectorial ∇ f : R ⊆ Rn −→ R definida por
∇ f (x1 , x2 , ..., xn ) = ( fx1 (x, y), fx2 (x, y), ..., fxn (x, y))
En el caso f : D ⊆ R2−→ R
∂ f →
∂ f →−
∇ f (x, y) = ( fx (x, y), fy (x, y)) = ∂x i + ∂y j
En el caso f : D ⊆ R3 −→ R
∂ f →−
∂ f →−
∂ f →−
∇ f (x, y, z) = ( fx (x, y, z), fy (x, y, z) fz (x, y, z)) = ∂x i + ∂y
j + k
∂z
DERIVADA DIRECCIONAL
Suponga que deseamos calcular la tasa de cambio de z en el punto (x0 , y0 ) en la direc-
ción de un vector unitario arbitrario
→−u = (a,b) , para esto consideremos la superficie
S con ecuación z = f (x, y) (la gráfica de f ) y sea z0 = f (x0 , y0 ) . Entonces el punto
P = (x0 , y0 , z0 ) está sobre S . El plano vertical que pasa por el punto P en la dirección del
vector
→−u interseca a la superficie S en la curva C . La pendiente de la recta tangente T a
la curva C en el punto P es la tasa de cambio de z en ladirección del vector
→−u .
0 , z0)
T
P=(x0 , y
Z
S
b u a
X
Si Q = (x, y, z) es otro punto sobre la curva C , y sean P0 y Q0 las proyecciones sobre el
plano xy de los vectores P y Q , entonces el vector −P−0→Q0 es paralelo al vector
consiguiente
→−u , y por
Q T
P
Z
S
b u
a P‘ Q‘
X
−P−0→Q0 = h →−u = (ha, hb)
para algúnescalar h . Así pues,
x − x0 = ha =⇒ x = x0 + ha y − y0 = hb =⇒ y = y0 + hb
y la razón de cambio está dada por
∆z = z − z0
= f (x0 + ha, y0 + hb) − f (x0 , y0 )
h h h
y al tomar el límite cuando h −→ 0 obtenemos la tasa de cambio instantánea de z (con
respecto a la distancia) en la dirección de
→−u , la cual se llama derivada direccional de f
en la dirección de→−u .
Definición 4.2 (Derivada direccional) Sea f : D ⊂ R2 −→ R una función escalar y sean
P = (x0 , y0 ) ∈ D y
→−u = (a, b) un vector unitario, entonces la derivada direccional de f
en P = (x0 , y0 ) en la dirección del vector
→−u , está dada por :
D →−u f (P) = D →−u f (x0 , y0 )
= lim f (P + h →−u ) − f (P)
h→0 h
= lim f (x0 + ha, y0 + hb) − f (x0 , y0 )
h→0 hObservación: Al comparar la definición de derivada parcial con la de derivada direc-
cional, podemos notar que si
→−u = (1, 0) entonces D →−u f (P) = fx (P) y si
→−u = (0, 1)
entonces D →−u f (P) = fy (P) , es decir, las derivadas parciales son derivadas direccionales
en la dirección de los vectores canónicos.
EJEMPLO 2
Calcule la derivada direccional de f (x, y) = 4 −x2 − y2 en el punto P = (1, 1, 2) en la
µ 1 1 ¶
dirección del vector
Solución.
→−u =
√2 , √2
Usando la definición de derivada direccional, tenemos que :
DERIVADA DIRECCIONAL 5
f µ1 + h , 1 + h ¶
f (1, 1)
√ √ −
D →−u f (1, 1) = lim 2 2
h→0
µ
h
h ¶2 µ
h ¶2
4 − 1 + √ −
1 + √ − 2
= lim 2 2
h→0µ
h
h ¶2 µ
h ¶2
2 − 1 + √ −
1 + √
= lim 2 2
h→0
h
µ h ¶2
= lim
h→0
2 − 2
1 + √2
h
y usando la regla de L’Hôpital
2
µ h ¶ 1 4
lim −4
1 + √ √ = − √ = −2√
h→0
2 2 2
Esto nos dice que la razón de cambio de z en P en la dirección del vector
→−u es −2√2 ,
es decir, que z en esta dirección estadecreciendo. En la figura 4.3 se ilustra esta situación.
P
Y
1
X
Figura 4.3 Tangente en P tiene pendiente −2√2.
Observación: la definición de derivada direccional es válida en general para funciones de n variables f : D ⊂ Rn −→ R .
6 GRADIENTE, DERIVADAS DIRECCIONALES Y PLANO TANGENTE
Con propósitos de cálculo, la definición de derivada direccional no es muy...
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