derivada implicita en una continuidad





Prueba. En primer lugar, si f es derivable en c entonces f© existe.
Por otra parte , existe f’©, es decir existe.





Si x esta en el dominio de f y x≠c, entonces podemos escribir.Usando los teoremas sobre límites tenemos:




Y esto quiere decir que f es continua en c.
Recuerde que hay funciones que son continuas, pero no derivables en algunos puntos, tal es elcaso de f(x)=.






Demostración: Necesitamos demostrar que . Empezamos por escribir f(x) de una manera especial.




Por lo tanto.







El inverso de este teorema es falso.Si una función f es continua en c, no se sigue que f es continua en c. Esto es fácil ver considerando f(x)=en el origen (véase la imagen del lado). Esta función en verdad es continua en cero. Sinembargo, no tiene una derivada allí, como ahora lo demostramos. Observe que:





Así,



Mientras que






Ya que los limites por la derecha y por la izquierda son diferentes,
Noexiste. Por lo tanto, f’(0)no existe.
Un argumento similar muestra que cualquier punto en donde la grafica de una función continua tenga una esquina o vértice, la función no esa derivable. La grafica enla imagen de abajo indica algunas formas para que una función no sea derivable en un punto.








Para la función que se muestra en la imagen de arriba la derivada no existe en el punto c,en donde la recta tangente es vertical. Esto es porque



Esto corresponde al hecho de que la pendiente de una recta vertical no está definida.










Hipótesis: f(x) es derivableen .
Tesis: f(x es continua en .
Demostración: si y=f(x) es derivable en , existe f() ya que esta hipótesis garantiza la existencia de


Escribimos



Si


Si aplicamos límite a ambosmiembros resulta:



Como


Entonces


Luego


Es continua en X=
Observación: no vale el reciproco, es decir que una función sea continua en un punto no implica necesariamente que sea...