derivada implicita

Sergio Yansen Núñez
Derivación Implícita
1.

Sea C œ 0 ÐBÑ una función definida implícitamente por la ecuación:
#

C † aC# > B# b > BC œ B > #%$
Determine la ecuación de la recta tangente a la curva de ecuación C œ 0 aBb, en el
punto de abscisa B œ !.

Solución:
Sea Ð!ß 5Ñ el punto de la curva donde se desea determinar la tangente.
#
Reemplazando el punto en la ecuación C † aC # >B# b > BC œ B > #%$ se obtiene:
#

5 † a5# > !# b > ! † 5 œ ! > #%$ Í 5& œ #%$ Í 5 œ $
Cálculo de C w Ð!Ñ:
.
C † aC# > B# b > BC œ B > #%$ / .B
#

#

Cw † aC# > B# b > C † #aC# > B# bÐ#C † Cw > #BÑ > C > BCw œ "
reemplazando B œ !ß C œ $ en la ecuación anterior se obtiene:
#

Cw (0) † a3# > 0# b > 3 † #a3# > 0# bÐ# † 3 † Cw (0) > # † 0Ñ > 3 > 0 † Cw (0) œ "
#
Cw (0) † 81 > $#%Cw(0) > $ œ " Í Cw (0) œ ? %!&

Sea C œ 7B > , la ecuación de la recta tangente
#
#
7 œ ? %!& Ê C œ ? %!& † B > ,

Reemplazando el punto Ð!ß $Ñ en la ecuación
,œ$

#
C œ ? %!& † B > , se obtiene

#B
Por tanto, la ecuación de la recta tangente es C œ ? %!& > 3 .

Sergio Yansen Núñez
2.

Determine la ecuación de la recta tangente a la curva C œ 0 ÐBÑ definida
implícitamente por laecuación ÈC > BC# œ & en el punto Ð%ß "Ñ Þ
ÈC > BC# œ &

Solución:

"
Cw
#†ÈC

.
y .B

> C# > #BCCw œ !

"
Š #†ÈC > #BC‹Cw œ ? C#

Cw œ

?C#

"
#†ÈC >#BC

#
Cw ¸Ð%ß"Ñ œ ? "(
#
La pendiente de la recta tangente en el punto indicado es 7 œ ? "(

Sea P À C œ 7B > , la ecuación de la recta tangente
#
Reemplazando Ð%ß "Ñ y 7 œ ? "( en C œ 7B > , se obtiene , œ #&
"(Por tanto, la ecuación de la recta tangente a la curva en el punto Ð%ß "Ñ es:
#
#&
C œ ? "( B > "( .
3.

Determine la pendiente de la recta normal a la curva del diablo
C% > *B# œ %C# > B% en el punto Ð$ß ? #Ñ .
Solución:
C% > *B# œ %C# > B%

.
Î .B

%C$ † C w > ")B œ )C † Cw > %B$
$

Cw œ %B $?")B
%C ?)C
Cw ¹

Ð$ß?#Ñ

œ ? #(
)

la pendiente de la recta tangente a la curvaen el punto Ð$ß ? #Ñ es ? #(
)
8
la pendiente de la recta normal a la curva en el punto Ð$ß ? #Ñ es 27

Sergio Yansen Núñez
4.

Sea C œ 0 ÐBÑ una función definida implícitamente por la ecuación
B# > BC > C# œ $ . Determine la ecuación de la recta tangente a la curva
C œ 0 ÐBÑ en el punto, ubicado en el primer cuadrante, de ordenada C œ ".
Solución:
Sea Ð2ß "Ñ el punto donde sedeterminará la tangente a la curva.
Reemplazando Ð2ß "Ñ en la ecuación B# > BC > C# œ $ se obtiene:
2# > 2 > " œ $
2# > 2 ? # œ !
Ð2 ? "ÑÐ2 > #Ñ œ !
2 œ " pues Ð"ß "Ñ pertenece al primer cuadrante
.
B# > BC > C# œ $ Î .B

#B > C > B † Cw > #C † Cw œ !
ÐB > #CÑCw œ ? C ? #B
?C?#B

Cw œ B>#C

Cw Ð"Ñ œ ?"?# œ ? "
">#
Recta tangente: C œ 7B > ,

donde 7 œ Cw Ð"Ñ œ ? "

Se tiene C œ ? B >,
Reemplazando Ð"ß "Ñ en C œ ? B > , se obtiene " œ ? " > , Í , œ #
Por tanto, la ecuación de la recta tangente es C œ ? B > #

Sergio Yansen Núñez
5.

Sea
C œ 0 ÐBÑ una
B
BC œ / > /C ? #.

función

definida

implícitamente

por

la

ecuación

Determine la ecuación de la recta tangente a la curva dada por C œ 0 ÐBÑ en el
punto Ð!ß !Ñ.
Solución:
BC œ /B > /C ? #
Ð!ß !Ñes un punto de la curva, pues
0 † ! œ /! > /! ? #
!œ!
.
‚ .B

BC œ /B > /C ? #
C > BCw œ /B > /C † Cw
BCw ? /C † Cw œ /B ? C
Cw ˆB ? /C ‰ œ /B ? C
/B ? C

C w œ B ? /C
Cw º

ÐBßCÑœÐ!ß!Ñ

!
?
œ / ? /! œ ? "
!
!

La recta tangente

X À C œ 7B > , donde 7 œ ? "

X ÀC œ ?B > ,
Ð!ß !Ñ − X

!œ!>,
,œ!

Por tanto, la recta tangente viene dada por la ecuación

C œ ?BSergio Yansen Núñez
6.

Sea
C œ 0 ÐBÑ una
$
$
B > BC > )/C œ !.

función

definida

implícitamente

por

la

ecuación

Determine la ecuación de la recta tangente a la curva dada en el punto de ordenada
C œ !.
Solución:
Sea Ð2ß !Ñ un punto de la curva, reemplazando las componentes de Ð2ß !Ñ
en B$ > BC$ > )/C œ ! se obtiene 2$ > ) œ ! Ê 2 œ ? #.
Cálculo de C w Ð ? #Ñ:
....