Derivada Implicita

Derivada implícita
131)
se define implícitamente una función y=f(x) , donde f es derivable . calcule y'`
a)x + y=x b) x3y2+3xy=0
12√x+ 12√y ×y'=1 (x3)'y2+x3y2'+3x'y+xy'=0
y'=2y(1-12√x) 3x2y2+2x3yy’+3y+xy'=0
2x3y+3xy'+3x2y2+3y=0
2x3y+3xy'=-3x2y2-3y

y'=-3x2y2-3y2x3y+3x

c) y2cosx-xarctg y=sen(x+y)
y2'cosx+y2cosx'-x'arctg y+xarctgy'=[cos⁡(x+y)](9+y')
2y y'cosx-y2senx-arctg y+xy'1+y2=cos⁡(x+y)+y'cos⁡(x+y)
2xy'cosx+x1+y2-y'cosx+y=cosx+y+y2senx+arctg y
y'2y cosx+x1+y2-cosx+y=cosx+y+y2senx+arctg y
y'=2ycosx+x1+y2-cos⁡(x+y)cosx+y+y2senx+arctg y

d) x seny+y cosx=1
x'seny+xseny'+y'cosx+ycosx'=0
seny+xy'cosy+y'cosx-ysenx=0
y'x cosy+cosx=ysenx-sen y
y'=y senx-senyx cosy+cosx

132)
Dada la curva C: 4x2-xy+y2=248x-x'y+xy'+2yy'=0
8x-y-xy'+2yy'=0
y'(2y-x)=y-8x
y'=y-8x2y-x
a) Punto (-2;-4)
Pendiente= m = -4-8-22-4--2=-4+16-8+2=12-6=-2
Ecuación de la recta tangente
Y-Yo =m(X-Xo)
y+4=-2(x+2)

b) y'=y-8x2y-x≫-2=y-8x2y-x reemplazando
-4y+2x=y-8x 4x2-x2x+2x2=24
10x=5y 6x2=24
2x=y x=12
Los puntos son: (-2;-2) , (2,4)

c)Halle las rectas tangentes a C trazadas desde el punto (4;0)
De la pendiente

y'=y-8x2y-x

(4,0)

(x,Y)

y-0x-4=y-8x2y-x
8x2-2xy+2y2=32x-4y
4x2-2xy+y2=16x-2y
24=16x-2y
133)
La curva definida por la ecuación
C:(X2+Y2)2=X2-Y2
Se llama LEMNISCATA. Halle las coordenadas de los puntos sobre la curva en los cuales la recta tangente es horizontalDERIVANDO
2x2+y22x+2yy'=2x-2yy'
4xx2+y2+4yx2+y2y’=2x-2yy’
4yx2+y2y'+2yy'=2x-4x(x2+y2)

y'=2x-4y(x2+y2)4yx2+y2+2y

Si la pendiente es horizontal:
y'=0
2x-4xx2+y2=0
-2x2x2+y2-1=0
X=0 v x2+y2=12

134)
Se dice que dos curvas son ORTOGONALES si en cada punto de intersección sus rectas tangentes son perpendiculares , pruebe que las siguientes curvas sonortogonales

C1:y2=4x pendiente de C1
C2:2x2+y2=6 2yy'=4 y'=42y
Hallando la intersección: pendiente de C2
2x2+4x=6 4x+2yy'=0 y'=-4x2y
x2+2x-3=0 luego : mc1×mc2=(42y)(-4x2y)
x+3x-1=0 mc1×mc2=-4xy2
x=-3 v x=1 para el punto P:
Se acepta: x=1 y=±2 mc1×mc2=-4122=-1
Luego, los puntos de intersección son para el punto Q:
(1,-2)y(1,2)mc1×mc2=-41-22=-1
C2:2x2+y2=6
C1:y2=4x
P(1,2)
Q(1,-2)
DERIVADA DE LA INVERSA DE UNA FUNCION

135)
Si la derivada de una función es solo positiva, o solo negativa, entonces la función tiene inversa
Luego:
a) F'x=x+lnx , x>0
F'x=1+1x>0, x>0

La función es creciente en todo su dominio y por lo tanto, tiene inversa


La función inversa seria:
F-1=[x,yx=y+lny]y=f-1(x)

b) fx=x+ex

f'x=1+ex>0, x∈R
Por lo tanto tiene inversa


y=f-1(x)

f-1=[(x,y)/ x=y+ey, x∈R]

Arco sen y
Arco sen y
136)
X = e …………………………………………………. (1)
Ln x = arcosen y
Sen lnx = y ………………………………………………….. (2)
Derivando 1:
Arco sen y
Arco sen y
Dy/dx = cos lnx = 1/x
Arco sen y
Arco sen y
Pero X = e
Dy/dx = cos(arcosenx)/e en función de y

Derivando 2:
dy/dx = cos lnx . 1/x = cos(lnx)/x en términos de x

-x
-x
x
x
137)
-x
-x
x
x
F(x) = e - e = tang h x
E + + e
a . y = tang h x
arcotang h y = x
2
2
Derivando con respecto a y:
1/1-y = dx/dy
2
2
Invirtiendo:
dy/dx = 1-y …………………………………………… (1)
b . y =tang h x
2
2
Derivando respecto a x:
dy/dx = sec h x………………………………………….. (2)
2
2
2
2
Debemos demostrar la equivalencia 1= 2
2
2
1-y = 1- tang h x
= sec h x

138)
fx=x5+x3+2x-1 sumando 1y2
a) f'x=5x4+3x2+2 5x4+3x2≥0
Luego: x4≥0 5x4+3x2+2≥2>0
5x4≥0………………….. 1
x2≥0
3x2≥0………………….. 2

b) (1,3)∈G(f)≫(3,1)∈G(F-1)
Para...