Derivada numerica

DERIVADA NUMERICA
De muchas funciones con las que se trabaja en la práctica no se conoce su expresión analítica y tan sólo se dispone de su valor en un conjunto de puntos (llamado soporte por analogía con la terminología utilizada en los temas de interpolación). No obstante, en ocasiones es necesario proceder al cálculo del valor de alguna derivada de tales funciones en un punto concreto. Esobvio que en este tipo de situaciones no se puede utilizar el concepto riguroso de derivada (pues se desconoce la expresión de la función). Surge así la conveniencia de diseñar métodos numéricos que permitan aproximar el valor de las derivadas de una función en algún punto a partir del conocimiento de los valores de la función en un soporte dado.
Los métodos que están desarrollados con este finmuestran un buen comportamiento en numerosos casos. Es por ello que algunas veces, aun disponiendo de la expresión analítica de las funciones a derivar, se opta por aproximar los valores de las derivadas mediante fórmulas numéricas suficientemente precisas. Ejemplo de ello son el método de la secante o, más generalmente, los métodos de Newton.
Es más, muchas de las técnicas de derivaciónnumérica que se abordarán en este tema están en la base de diferentes métodos utilizados para la resolución de ecuaciones diferenciales, es decir de ecuaciones en las que intervienen derivadas de funciones “incógnita”. Es el caso, por ejemplo, de los llamados métodos en diferencias finitas.
La principal idea que subyace en las técnicas de derivación numérica está muy vinculada a la interpolación y sepodría resumir en lo siguiente: Si de una función f(x) se conocen sus valores en un determinado soporte de puntos, puede “aproximarse” la función f(x) por otra función p(x) que la interpole en dicho soporte y sustituir el valor de las derivadas de f(x) en un punto x* por el valor de las correspondientes derivadas de p(x) en dicho punto x*. Esta idea tan simple deberá sin embargo ser analizadacon detalle pues su aplicación sin mayores consideraciones puede conducir a errores no admisibles.
Puesto que entre las distintas técnicas de interpolación existentes se han abordado en temas precedentes las técnicas de interpolación polinómica de Lagrange, nos centraremos aquí en las fórmulas obtenidas a partir de esta forma de interpolar. No obstante conviene indicar que para otras técnicas deinterpolación podrían diseñarse técnicas de derivación numérica de forma análoga a como se plantearán las recogidas en este tema.
Una de las primeras fórmulas que nos permiten aproximar una derivada primera tiene sus raíces en los comienzos del cálculo diferencial en el siglo XVII. En ese entonces el concepto de límite no estaba desarrollado de forma explícita y la primera derivada de unafunción f(x) en el punto x* se consideraba como el valor del cociente incremental:

Cuando h era “suficientemente pequeño”. Una vez que, en el siglo XIX, se formalizó el concepto de límite se pudo proceder a definir la primera derivada de una función f(x) en x* mediante la conocida expresión:

En este sentido resulta razonable esperar que el valor del cociente incremental A y el valor del límiteusado en la determinación de f’(x*) se “parezcan” más cuanto menor sea el valor de h que se utilice en la determinación de A. De aquí puede surgir una primera idea para aproximar el valor de f’(x) como el valor que se obtiene para el cociente incremental cuando se toma h suficientemente pequeño.

NOTA:
Más adelante se detallará cómo el cociente incremental que acabamos de considerar tambiénpuede obtenerse a partir de las fórmulas del polinomio interpolador de una función. Con ello recuperaremos la idea que subyace en los métodos de derivación numérica
Ejemplos:
1.- La función f(x) = x² tiene como función primera derivada f’(x) = 2x por lo que f’ (1) = 2. En el punto x*=1 el cociente incremental antes considerado toma la expresión:

por lo que cuanto menor sea el valor de...