Derivada Por Los Cuatro Pasos

DERIVADA POR LOS CUATRO PASOS.
* En matemáticas, la derivada de una función es uno de los dos conceptos centrales del cálculo. El otro concepto es la anti derivada o integral; ambos conceptos están relacionados por el teorema fundamental del cálculo.” (Ernesto Javier Espinosa Herrera, Ignacio Canals Navarrete, Manuel Meda Vidal, Rafael Pérez Flores, Carlos Antonio Ulin Jiménez página 251).INTRODUCCION.
* La derivada de una función en un punto (a) surge del problema de calcular la tangente a la gráfica de la función en el punto de abscisa (a).
* “La derivada de una función en un punto mide, por tanto, la pendiente de la tangente a función en dicho punto. Nos va a servir para estudiar el crecimiento o decrecimiento de una función o la concavidad o convexidad de la misma en losdiferentes intervalos en los que se puede descomponer su campo de existencia.” (Eduardo Nava Ávila y Enrique Macías Alatorre página 53).
DESARROLLO.
* Incremento.
* El incremento ∆x de una variable x es le cambio de x cuando crece o decrece desde un valor x = x1 y x = x2, donde el incremento de x (∆x), es igual a x1-x2.
* Si x existe en una función al cambio de la variable se lellama ∆x. “El resultado final de una derivación mediante los cuatro pasos puede crecer complicada y fuera de lugar pero al final es la esencia del calculo diferencial”(Joseph Purcell Varberg página193).
Primer paso:
* Corresponde solamente al incremento de las variables (X y Y), representado con el incremento delta, que se representa con un triangulo (∆), a cada una de las variables. Ejemplo:* Y = X3 + 2x2 – 3x – 1
* Y + ∆y = (x + ∆x)3 + 2(x + ∆x)2 – 3(x + ∆x) – 1
Segundo paso:
* Desarrollar operaciones algebraicas y restarle la función original. Algebraicamente se desarrolla la ecuación (binomios, trinomios) y terminado se le restará la función original al resultado. Ejemplo: 
* Y + ∆y = (x + ∆x)3 + 2(x + ∆x)2 – 3(x + ∆x) – 1
* Y + ∆y = (x3 + 3x2∆x + 3x∆x2 + ∆x3) +2(x2 + 2x∆x + ∆x2) – 3x – 3∆x – 1
* Y + ∆y = x3 + 3x2∆x + 3x∆x2 + ∆x3 + 2x2 + 4x∆x + 2∆x2 – 3x – 3∆x – 1-(Y = X3 + 2x2 – 3x – 1) 
* ∆y = 3x2∆x + 3x∆x2 + ∆x3 + 4x∆x + 2∆x2 – 3∆x
Tercer paso:
* Obtener la razón dividiendo la función incrementada por ∆x. Es decir, dividir cada elemento entre ∆x para así eliminar valores delta (∆x). Ejemplo:
* ∆y = 3x2∆x + 3x∆x2 + ∆x3 + 4x∆x + 2∆x2 –3∆x
∆x ∆x 
* ∆y/∆x = 3x2 + 3x∆x + ∆x2 + 4x + 2∆x – 3
Cuarto paso:
* Sustituir ∆x cuando tiende a cero que es el límite de la función. Sustituiremos todos los ∆x por [0] en toda la ecuación y se multiplicara (variable multiplicada por cero da cero). Ejemplo:
* ∆y/∆x = 3x2 + 3x [0] + [0]2 + 4x + 2[0] – 3
* ∆y/∆x = 3x2 + 4x – 3
* Este es elresultado final de una derivación mediante la regla de los 4 pasos .
Ejercicios resueltos.
Y = 2X2 + X.
Paso uno:
Y + ∆Y = 2 (X + ∆X)2 + (X + ∆X)
Paso dos:
Y + ∆Y = 2 (X2 + 2X∆X + ∆X2) + X + ∆X
Y + ∆Y = 2X2 + 4X∆X + 2∆X2) + X + ∆X – (Y + 2x2 + X)
∆Y = 4X∆X + 2∆X2 + ∆X
Paso tres:
∆Y = 4X∆X + 2∆X2 + ∆X
∆X ∆X
∆Y/ ∆X = 4X + 2 ∆X + 1
Paso cuatro:
∆Y/ ∆X = 4X + 2(0) + 1
∆Y/∆X = 4X+1

Y = X3 + 2X.
Paso uno:
Y + ∆Y = (X + ∆X)3 + 2 (X + ∆X)
Paso dos:
Y + ∆Y = (X3 + 3X3∆X + 3X∆X3 + ∆X3) + 2X + 2∆X
Y + ∆Y = X3 + 3X2∆X + 3X∆X2 + ∆X3 + 2X + 2∆X – (Y + X3+ 2X)
∆Y = 3X2∆X + 3X∆X2 + ∆X3 + 2∆X
Paso tres:
∆Y = 3X2∆X + 3X∆X2 + ∆X3 + 2∆X
∆X ∆X
∆Y/∆X = 3X2+ 3X∆X + ∆X3 + 2
Paso cuatro:
∆Y/∆X = 3X2 + 3X(0) + (0)3 + 2
∆Y/∆X = 3X2 + 2

Y = 4X2+ 2X +1
Paso uno:
Y + ∆Y = 4 (X + ∆X)2 + 2 (X + ∆X) +1
Paso dos:
Y + ∆Y = 4 (X2 + 2X∆X + ∆X2) + 2X + 2∆X +1
Y + ∆Y = 4X2 + 8X∆X + 4∆X2) + 2X + 2∆X – (Y + 4x2 + 2X + 1)
∆Y = 8X∆X + 4∆X2 + 2∆X
Paso tres:
∆Y = 8X∆X + 4∆X2 + 2∆X
∆X ∆X
∆Y/ ∆X = 8X + 4∆X + 2
Paso cuatro:
∆Y/ ∆X = 8X + 4(0) + 2
∆Y/ ∆X = 8X+2

Y = 3X3 + 4X.
Paso uno:
Y + ∆Y = 3(X + ∆X)3 + 4 (X + ∆X)...