derivada resumen

´
RESUMEN DE LA DERIVADA DE UNA FUNCION
Material did´ctico elaborado por el
a
Maestro Leopoldo Pantale´n Mart´nez.
o
ı
Sea f una funci´n y a un elemento de su dominio.
o
1. f (a) := l´ h→0ım

f (a+h)−f (a)
h

2. f (a) := l´ x→a
ım

f (x)−f (a)
x−a

= l´ ∆x→0
ım

= l´ ∆x→0
ım

f (a+∆x)−f (a)
∆x

= l´ ∆x→0
ım

∆y
∆x .

∆y
∆x .

3. f (a) = mT , es decir, laderivada en a es la pendiente de la recta tangente
a la curva y = f (x) en el punto (a, f (a)).
4. La ecuaci´n de la recta tangente en el punto de abscisa a es y − f (a) = f (a)(x − a).
o
5.Velocidad instant´nea. Si s(t) es la ecuaci´n de la posici´n de un m´vil,
a
o
o
o
entonces s (t) = v(t), i.e., la derivada de la posici´n es la velocidad instant´nea
o
a
en t.
6. Si los l´
ımites 1y 2 no existen, la funci´n f no es derivable en a.
o
7. Si f es derivable en a, entonces, f es continua en a. Intuitivamente, si
podemos dibujar la recta tangente en el punto (a, f (a)), la gr´ficano puede
a
tener un hueco en dicho punto.
Condiciones para que una funci´n no sea derivable en un punto:
o
8. Si f no es continua en a, entonces f no es derivable en a.
9. Si la gr´fica de ftiene un pico en a, f no es derivable en a.
a

10. Si la recta tangente es vertical en a, la funci´n no es derivable en a.
o

1

La derivada como funci´n.
o
Una funci´n f es derivable en unconjunto D, si es derivable en cada x en
o
D, en este caso se define la funci´n derivada f para cada x ∈ D por
o
f (x + h) − f (x)
h→0
h

f (x) := l´
ım

y se dice que la funci´n f tienederivada en x ( o que es derivable en x o que es
o
diferenciable en x).
Significado geom´trico de la derivada: f (x) es la pendiente mT de la recta
e
tangente T en el punto (x, f (x)) de la gr´fica de f.
a
Reglas generales de derivaci´n (´lgebra de funciones y derivaci´n):
o a
o
Si f y g son funciones derivables en x y c ∈ R, entonces
(f + g) (x) = f (x) + g (x),

(regla para la suma)....