Derivada Usando La Regla De La Cadena
Si y = f (u ), u = g ( x), y es una función diferenciable de u y u es una función diferenciable de x, es decir, dy du y existen, entonces la función compuesta definida como y = f ( g ( x) ) = f g du dx tiene derivada definida así: dy dy du = = f ´(u ).g´( x) = f ´( g ( x) ) . ( g´( x) ) dx du dx
Derivada externa Derivada interna
Recuerda entonces las reglas de derivación y extiéndelas ala regla de la cadena
Si Si y = xn → y = un → dy d n = ( x ) = n.x n −1 dx dx dy d n du = ( u ) = n.u n −1. u´= n.u n −1. dx dx dx
Hallar la derivada de cada una de las funciones usando la regla de la cadena
Ejemplo 1: f ( x ) = ( x 2 + 5 x )
100
Solución: Aplicando la regla de la cadena
f ´( x) = Dx ( x 2 + 5 x )
100
= 100 ( x 2 + 5 x ) Dx ( x 2 + 5 x ) = 100 ( x 2 + 5 x )
9999
( 2 x + 5)
Ejemplo 2: f ( x) =
1
( 3x − 1)
4
Solución: Aplicando la regla de la cadena Lcdo. Eliezer Montoya Página 1
Derivadas Usando la Regla de la Cadena
1 −4 f ´( x) = Dx = Dx ( 3 x − 1) 4 ( 3 x − 1)
= −4 ( 3 x − 1)
−4 −1
.Dx ( 3 x − 1) = −4 ( 3 x − 1) −12
−5
( 3) =
= −12 ( 3 x − 1) =
−5
( 3x − 1)
5
Podemos ver en azul lafunción interna, por tanto al derivar una función compuesta, calculamos la derivada de la función externa por la derivada de la función interna.
Ejemplo 3: y = ( x 2 + 5 x )
3
Solución: Aplicando la regla de la cadena
du = 2 x + 5 u = x 2 + 5 x dx y = ( x2 + 5x ) ⇒ ⇒ 3 y = u dy = 3u 2 du 2 dy dy du = = 3u 2 ( 2 x + 5 ) = 3 ( x 2 + 5 x ) ( 2 x + 5 ) = ( x 4+ 10 x 3 + 25 x 2 ) ( 6 x + 15 ) = dx du dx = 6 x5 + 60 x 4 + 150 x3 + 15 x 4 + 150 x 3 + 375 x 2 = 6 x 5 + 75 x 4 + 300 x 3 + 375 x 2
3
Ejemplo 4: y = x 2 + 1 Solución: Aplicando la regla de la cadena
du dx = 2 x u = x + 1 y = x2 + 1 ⇒ ⇒ 1/ 2 y = u = u dy = 1 u −1/ 2 = 1 du 2 2 u
2
dy dy du 1 2x = = .2 x = = dx du dx 2 u 2 x2 + 1
x x +1
2
→ Dxu =
Dx u 2 u
Ejemplo 5: h( x ) = sin 3 x = ( sin x )
3
Solución: Aplicando la regla de la cadena
h '( x ) = Dx ( sin x ) = 3 ( sin x )
3 3−1
Dx ( sin x ) = 3sin 2 x.cos x
Lcdo. Eliezer Montoya
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Derivadas Usando la Regla de la Cadena
Ejemplo 6: g ( x ) = sin x 3 = sin ( x 3 ) Solución: Aplicando la regla de la cadena
g´( x ) = Dx ( sin x 3 ) = cos x 3 Dx ( x 3) = 3 x 2 cos x 3
Con lo antes expuesto, podemos generalizar las siguientes reglas de derivación
Dx sin u = cos u.Dx u Dx cos u = − sin u.Dx u
Dx tan u = sec 2 u.Dx u Dx cot u = − csc u.Dx u
10
Dx sec u = sec u.tan u.Dx u Dx csc u = − csc u.cot u.Dx u
2
Ejemplo 7: g (t ) = ( t 2 + 6t )
(1 − 3t )
4
Solución: Aplicando la regla de la cadena: -Recuerde la regla de laderivada de dos
funciones Dx ( u.v ) = ( Dx u ) .v + ( Dx v ) .u
g´(t ) = Dt ( t 2 + 6t )
10
(1 − 3t )
4
10 10 4 4 = Dt ( t 2 + 6t ) . (1 − 3t ) + Dt (1 − 3t ) . ( t 2 + 6t )
= 10 ( t 2 + 6t ) Dt ( t 2 + 6t ) . (1 − 3t ) + 4 (1 − 3t ) Dt (1 − 3t ) . ( t 2 + 6t ) = 10 ( t 2 + 6t ) ( 2t + 6 ) . (1 − 3t ) + 4 (1 − 3t ) ( −3) . ( t 2 + 6t ) = 10 ( t 2 +6t ) ( 2t + 6 ) . (1 − 3t ) − 12 (1 − 3t ) . ( t 2 + 6t )
3 = 2 ( t 2 + 6t ) (1 − 3t ) 5 ( 2t + 6 ) (1 − 3t ) − 6 ( t 2 + 6t ) 9 9 4 3 10 9 4 3 10
9
4
3
10
= 2 ( t 2 + 6t ) (1 − 3t ) −36t 2 − 116t + 30 = −4 ( t 2 + 6t ) (1 − 3t ) 18t 2 + 58t − 15
9 3
9
3
Ejemplo 8: y = e x
2
+5 x + 6
Solución: Aplicando la regla de la cadena
Lcdo....
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