derivada f en x

se llama derivada de f en x (supuesto que el límite existe) y se denota por f’(x).

La notación f’(x) se lee "f prima de x". También se usa mucho la notación:

que se lee " la derivada de yrespecto a x".

Nota: Una función es derivable en x si existe su derivada en x
.
Ejemplos para discusión: Halla la derivada de:

Nota: En cualquier punto donde la tangente es vertical, lapendiente es infinita; la derivada, por tanto, no existe.

Tema: Reglas de Derivación
Ya hemos calculado derivadas a través de la definición de la derivada como límite. Este procedimiento resulta enmuchas ocasiones largo y tedioso.
Existen varias reglas que nos permiten calcular la derivada sin usar directamente los límites.

Regla de las constantes: La derivada de una función constante escero. Esto es, si f(x) = c, para alguna constante c, entonces f’(x) = 0.
Ejemplos:

Regla de las potencias: Si f es una función diferenciable y f(x) = xn, entones
f’(x) = nxn-1, para cualquiernúmero real n.
Ejemplos:

Regla del producto por un escalar: Si cf(x) es una función diferenciable, entonces

Ejemplos:


Regla de la suma: La derivada de la suma de dos funciones es lasuma de las derivadas. Esto es, si f y g
son funciones direrenciales, entonces :

Ejemplos: Deriva las siguientes funciones y evaluarla en los casos indicados.
1) g(x) = x3 – 4x + 2; g’(2)Tema: Derivadas de orden superior
Como la derivada de una función es otra función, entonces podemos tratar de hallar su derivada. Si hacemos tal cosa, el resultado es de nuevo una función que pudieraser a su vez derivada. Si continuamos así una y otra vez, tenemos lo que se conoce por derivadas de orden superior.
Por ejemplo, si f(x) = 6x3 - 5x2, entonces la:
primera derivada es : f’(x) = 18x2- 10x
segunda derivada es: f"(x) = 36x - 10
tercera derivada es : f’’’(x) = 36
cuarta derivada es : f(4)(x) = 0
.
.
.
n-ésima derivada es : f(n) (x) = 0

Ejemplos para discusión:
1) Si...