DERIVADA Y DIFERENCIAL

DERIVADA Y DIFERENCIAL.

DEF [DERIVADA DE UNA FUNCIÓN]: En matemáticas, la derivada de una función es una medida de la rapidez con la que cambia el valor de dicha función matemática, según cambie el valor de su variable independiente. La derivada de una función es un concepto local, es decir, se calcula como el límite de la rapidez de cambio media de la función en un cierto intervalo, cuandoel intervalo considerado para la variable independiente se torna cada vez más pequeño. Por ello se habla del valor de la derivada de una cierta función en un punto dado.
El valor de la derivada de una función en un punto puede interpretarse geométricamente, ya que se corresponde con la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en dicho punto. La recta tangente es a su vez lagráfica de la mejor aproximación lineal de la función alrededor de dicho punto. La noción de derivada puede generalizarse para el caso de funciones de más de una variable con la derivada parcial y el diferencial.
La derivada de una función f en un punto x se denota como f′(x). La función cuyo valor en cada punto x es esta derivada es la llamada función derivada de f, denotada por f′. El proceso deencontrar la derivada de una función se denomina diferenciación, y es una de las herramientas principales en el área de las matemáticas conocida como cálculo infinitesimal.

DEF [DIFERENCIAL DE UNA FUNCIÓN]: El diferencial es un objeto matemático que representa la parte principal del cambio en la linealización de una función y = ƒ(x) con respecto a cambios en la variable independiente. Eldiferencial dy queda definido por la expresión



donde  es la derivada de f con respecto a x, y donde dx es una variable real adicional (de manera que dy es una función de dos variables x, y dx). La notación es tal que la expresión:



donde la derivada es representada en la notación de Leibniz dy/dx, se mantiene, y es consistente con respecto a la derivada como el cociente de diferenciales. Así sepuede escribir:



El significado preciso de las variables dy y dx depende del contexto de aplicación y del nivel de rigor matemático requerido. Según consideraciones matemáticas rigurosas modernas, las notaciones dy y dx son simplemente variables reales y son manipuladas como tales. El dominio de estas variables puede tomar un significado geométrico particular si el diferencial es consideradocomo una forma diferencial, o significado analítico si el diferencial es considerado como una aproximación lineal al incremento de una función. En aplicaciones físicas, a menudo, se requiere que las variables dx y dy sean sumamente pequeñas (infinitesimales).
El diferencial está definido en los tratamientos modernos del cálculo diferencial de la siguiente manera.1 El diferencial de unafunción ƒ(x) de una única variable real x es la función df de dos variables reales e independientes x y Δx dada por:



Uno, o los dos, argumentos pueden ser suprimidos: ej., se puede ver df(x) o simplemente df. Si y = ƒ(x), el diferencial también puede ser escrito dy. Dado que dx(x, Δx) = Δx es convencional escribir dx = Δx, de manera que la igualdad

se mantiene.


DIFERENCIAS.

Lasdiferencias entre derivada y diferencia están en que mientras la derivada es una tasa de cambio instantánea que puede representarse e interpretarse geométricamente como la pendiente de la recta tangente a la curva, pero básicamente es una simple tasa de cambio a niveles infinitesimales. Mientras que el diferencial es un cambio infinitesimal (no una tasa de cambio ni incremento) de una variable con respectoa otra u otras. Como se trata de cambios infinitesimales, suelen estimarse con la derivada de manera lineal de la siguiente manera: dy= f'(x)dx y se usa cuando los incrementos son muy pequeños.





RAZON DE CAMBIOS RELACIONADAS.

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