Derivada y su aplicacion

1.- Introducción.

La finalidad en este trabajo integrador es mostrar la aplicación de uno de los conceptos fundamentales del cálculo ¨La Derivada¨, en nuestra vida cotidiana.

Pensemos, por ejemplo, en una persona que cae a un río cuyas aguas se encuentran a muy baja temperatura.

Es claro que la temperatura corporal será función del tiempo que la persona permanezca en el agua y clarotambién es que la función será decreciente al haber pérdida de calor del cuerpo hacia el agua tendiendo el mismo a alcanzar la temperatura del agua dada la diferencia de masa entre ambos. Sin embargo en este problema resulta vital conocer la rapidez de disminución de la temperatura del cuerpo que por cierto no es lineal.

De toda esa información dependerá que sepamos cuanto tiempo se tiene aúndisponible para salvar la vida de la persona, y esa información nos la dará justamente la derivada de la función en cuestión. De hecho muchas cantidades o magnitudes que conoces se definen justamente como derivada de otra.

El estudio de las operaciones con derivadas, junto con las integrales, constituye el cálculo infinitesimal. Los introductores fueron Newton y Leibniz, de forma independiente.Los conceptos son difíciles y hasta bien entrado el siglo XIX no se simplificaron. A ello contribuyó la aparición de una buena notación, que es la que usaremos. Las aplicaciones prácticas de esta teoría no dejan de aparecer, como se verá en los casos prácticos.

2.- Marco Teorico.

En general el término cálculo  (del latín  calculus = piedra) hace referencia, indistintamente, a la acción o elresultado correspondiente a la acción de calcular. Calcular, por su parte, consiste en realizar las operaciones necesarias para prever el resultado de una acción previamente concebida, o conocer las consecuencias que se pueden derivar de unos datos previamente conocidos.

No obstante, el uso más común del término cálculo es el lógico matemático. Desde esta perspectiva, el cálculo consiste en unprocedimiento mecánico, o algorítmico, mediante el cual podemos conocer las consecuencias que se derivan de unos datos previamente conocidos.

Calculo del límite en un punto.

Si f(x) es una función usual (polinómicas, racionales, radicales, exponenciales, logarítmicas, etc.) y está definida en el punto a, entonces se suele cumplir la siguiente condición:

Es decir, para calcular el límitese sustituye en la función el valor al que tienden las x.

No podemos calcular  porque el dominio de definición esta en el intervalo [0, ∞), por tanto no puede tomar valores que se acerquen a -2.
Sin embargo si podemos calcular , aunque 3 no pertenezca al dominio, D=  − {2, 3}, si podemos tomar valores del dominio tan próximos a 3 como queramos.

Cálculo del límite en una función definida atrozos.

En primer lugar tenemos que estudiar los límites laterales en los puntos de unión de los diferentes trozos.

Si coinciden, este es el valor del límite.

Si no coinciden, el límite no existe.

.
En x = −1, los límites laterales son:
Por la izquierda:
Por la derecha:
Como en ambos casos coinciden, existe el límite y vale 1.
En x = 1, los límites laterales son:
Por laizquierda:
Por la derecha:

Como no coinciden los límites laterales no tiene límite en x = 1.

Recta Tangente.

Pendiente: La pendiente de la recta tangente a una curva en un punto es la derivada de la función en dicho punto.

Ecuación de la recta tangente.

La recta tangente “a” a una curva en un punto es aquella que pasa por el punto (a,f(a)) y cuya pendiente es igual a f`(a).

RectaSecante.

La recta secante es una recta que corta a una circunferencia en dos puntos.

Conforme estos puntos de corte se acercan, dicha recta se aproxima a un punto y, cuando solo existe un punto que toca la circunferencia, se le llama tangente, secante proviene del término en latín para el verbo cortar =>
“secare”.

La Derivada.

En matemáticas, la derivada de una función es uno de los dos...