derivada

Derivada
El concepto de derivada tiene que ver con VARIACIÓN, en una porción muy pequeña, tan pequeña como se desee (del tiempo o del espacio).

Si lo ves en una curva, como por ejemplo una parábola que va hacia abajo, vas a ver que la derivada de esa función, evaluada en un punto "a", es igual a la PENDIENTE de la recta tangente a la curva, en ese mismo punto.
La derivada da idea de cuántoestá creciendo o decreciendo la función, en cada punto.
Fijate que dije "en cada punto", por eso hablé antes de "en una porción muy pequeña". O sea, si tomás un intervalo de dos puntos, en una parábola, te va a dar una recta que va a tocar a esos dos puntos. Si achicás el intervalo, esos puntos van a estar más juntitos, e igualmente vas a obtener una recta, pero ésta va a ser casi casi tangente.Si el intervalo lo hacés "TAN PEQUEÑO COMO DESEES" o sea, hacés un DIFERENCIAL de ese intervalo, vas a obtener dos puntos TAN juntos, que van a parecer uno solo. Pero como son 2 puntos, podés trazar la recta TANGENTE a la curva, en "ese punto" que en realidad son 2. Y a la vez, esa recta estará tocando a la curva en 1 solo punto (que son esos 2).

Veámoslo con ejemplos en la física:
A las 10:00hs voy en auto a 30 km/h.
A las 10:15 hs voy en auto a 45 km/h.
A las 10:30 hs voy en auto a 60 km/h.

Estaba acelerando, obviamente.
Se puede ver claramente que esa aceleración es constante, porque cada 15 minutos, iba a 15 km/h más que antes.

Entonces, en el gráfico de la aceleración respecto del tiempo, hay una línea horizontal (CONSTANTE), que es positiva, o sea que está sobre el ejeX.
Esto significa que, a lo largo del tiempo, la aceleración permanece constante.

En el gráfico de la velocidad hay una línea recta inclinada hacia arriba, o sea, a medida que vamos hacia la derecha, la velocidad va creciendo.
Esto significa que, a lo largo del tiempo, la velocidad va creciendo (de manera uniforme, a 15 km/h cada 15 min.)

Sabemos que la Posición (X) se mide en metros.
LaVelocidad (V) se puede medir en metros/segundo.
La Aceleración (A) se mide en metros/seg²

La Velocidad es la variación de posición, respecto del tiempo, y la Aceleración es la variación de Velocidad respecto del tiempo.

Entonces, la DERIVADA DE LA POSICIÓN, RESPECTO DEL TIEMPO, en cada punto, DA LA VELOCIDAD en ese punto. Es decir, cuánto varía la posición en ese momento (hablamos depuntos, en la recta del tiempo, o sea instantes de tiempo muy muy muy pequeños, diferenciales de tiempo).
Y lo mismo, LA DERIVADA DE LA VELOCIDAD RESPECTO DEL TIEMPO en cada punto (momento), DA LA ACELERACIÓN en ese punto (momento o instante de tiempo). Es decir, cuánto varía la velocidad respecto del tiempo, en ESE momento.

Diferencial
En el campo de la matemática llamado cálculo, el diferencialrepresenta un cambio en la linearización de una función.

Tradicionalmente, el diferencial (ej. dx, dy, dt etc...) es interpretado como un infinitesimal.

La diferencial jacobiana cuyas componentes son las derivadas parciales de una función de forma Rn en Rm (especialmente cuando esta matriz es vista como una aplicación lineal).
Geometría diferencial
Las formas diferenciales proveen unmarco de trabajo que permite multiplicación y derivación de diferenciales.
La derivada exterior es una noción de derivación de formas diferenciales que generaliza el diferencial de una función (la cual es un diferencial 1-forma).
La aplicación diferencial tangente o pushforward se refiere a la derivada de una aplicación entre variedades diferenciables y las operaciones que define. El diferenciales también usado para definir el concepto dual de pullback




Formulas de la Diferenciacion
1 Fórmula de Diferenciación General
, en esta fórmula, c es un valor constante.
, esta es la regla de la potencia de la diferenciación. En esta fórmula, n debe ser exclusivamente un número real.
, lo que significa que cuando un número es diferenciado con respecto a sí mismo producirá uno como...