derivada

1
Universidad Tecnológica Nacional

SISTEMAS DINÁMICOS I

Facultad Regional San Rafael

Comisiones 3 y 4
2011

RAZONES DE CAMBIO Y DERIVADAS

INTRODUCCIÓN: DOS PROBLEMAS, UNA SOLUCIÓN
Podemos introducirnos al tema a plantear a través de un análisis de dos situaciones distintas pero
con una misma solución.
a) En primer lugar analicemos el problema de la recta tangente a una curva enun punto. Si la curva es
regular, como por ejemplo una circunferencia, el problema admite soluciones geométricas. Si la curva
responde a un modelo cualquiera, no es tan sencillo.
5

4

2.5
2

3

1.5
2

1

1

2

3

0.5
1

2

3

4

b) En segundo lugar analicemos el problema del desplazamiento o cambio de posición en el tiempo de un
objeto. Supongamos que se deseaanalizar con que velocidad se movió para recorrer una cierta
d
distancia. Si conocemos la distancia y el tiempo empleado, plateamos el cociente v 
,
t
obtendremos nuestro resultado. Sin embargo si deseamos conocer con que velocidad se desplazaba en
cada instante del intervalo de tiempo analizado, nos encontramos con la situación que nuestro ∆t
debiera ser 0, y en ese caso tendríamos unadivisión por cero.
¿Qué solución aporta la matemática en este caso? Un recurso ya conocido por nosotros, que es el
límite. ¿Cómo aplicar el concepto?. Esto es lo que analizaremos en los desarrollos siguientes.
INCREMENTOS
En el estudio que proponemos el
concepto de incrementos resulta fundamental
para comenzar a plantear las soluciones a los
problemas que se han planteado.
Los incrementosson variaciones en las
variables. Los incrementos generalmente se
indican con la letra griega ∆. Así ∆x es la variación

y

f(x)

f(a+h)
∆y
f(a)
∆x = h
a

a+h

x

2
que se produce en la variable independiente “x” y ∆y el incremento resultante en el valor de función.
Si partimos de un punto perteneciente a la función de coordenadas (a, f(a)), y aplicamos
incremento de variable,“h” , se obtendrá un punto (a+h, f(a+h)).
O sea:
∆x = (a+h)  a= h
∆y = f(a+h)  f(a)
En algunos casos nos referiremos al incremento de variable “x” como ∆x y en otros casos lo
llamamos “h”, según la necesidad, pero son conceptos equivalentes. Cuando se desea hacer referencia a un
incremento genérico se suele usar ∆x, y cuando se analiza a partir de un valor determinado, “a” en este
caso esfrecuente llamarlo “h”.
Así, dada
f(x)= x2 + 2x
Si se desea incrementar la función con un ∆x = h a partir de un valor x=a, será:
∆x = h
f(a)=a2 + 2 a
f( a+h )= ( a+h)2+ 2 (a+h)= a2+2 a h +h2+2 a+2 h
∆y = f(a+h)  f(a)= a2+ 2 a h +h2+2 a+2 h ( a2 + 2 a)=
∆y = a2 + 2 a h + h2 + 2 a + 2 h  a2  2 a = 2 a h + h2 +2 h
En Math sería:

COCIENTE DE INCREMENTOS O COCIENTE INCREMENTAL

y
.Su interpretación básica es que representa la
x
variación de la función con respecto a una variación de la variable. En cada aplicación tendrá una
interpretación distinta.
Llamamos cociente de incrementos al cociente

y f(a  h)  f(a)

x
h
PENDIENTE DE UNA RECTA SECANTE

f(a+h)

Si analizamos una f(x) cualquiera, y
tomamos dos puntos sobre ella, al trazar una
secante que une alos dos puntos, vemos que
el cociente de incrementos representa el
valor de la pendiente de la recta secante:

msec ante 

y f(a  h)  f(a)

x
h

∆y

f(a)
∆x
a

a+h

3
Sea por ejemplo f(x)= x2  3 x. Deseamos trazar una secante que pase por (2,f(2)), (4,f(4)).
La pendiente de la recta secante será:
4
2

2

4

msec ante 

y f(a  h)  f(a) f(4)  f(2) 4  2


3
x
h
42
2

La ecuación de la secante será:
r(x)= 3 (x2) + f(2)= 3 x  8

VELOCIDAD MEDIA
El concepto de velocidad media es bastante intuitivo para la mayoría de las personas. Si un móvil
recorre 45 km en 0,5 horas, es común decir que su velocidad media es:

vm 

d 45 km

 90 km / h
t
0, 5 h

Para dar mayor precisión sobre la expresión correspondiente,...