Derivada

Derivada

Sea C œ 0 aBb una función real y sean T aB" ß C" b y UaB# ß C# b dos puntos de 0 aBbÞ P" es una recta secante a C œ 0 aBb, luego la pendiente de P" es À 7" œ C#  C" B#  B" Ê 7" œincremento de ordenadas ?C œ ?B incremento de abscisas

Como ?B œ B#  B" ß entonces B"  ?B œ B# C" œ 0 aB" b C# œ 0 aB# b Ê C# œ 0 aB"  ?Bb 0 aB"  ?Bb  0 aB" b ?B

Así, 7" œ

Si U se aproxima aT , ?B tiende a cero y la recta P" arecta secanteb se transforma en la recta P# , que es la recta tangente a C œ 0 aBb en el punto T aB" ß C" bÞ Es decir, lim ?B Ä ! 0 aB"  ?Bb  0 aB" b es lapendiente de la recta tangente a C œ 0 aBb en el ?B

punto T aB" ß C" b con C" œ 0 aB" b

Concepto de derivada de una función Si C œ 0 aBb es una función, entonces la derivada de 0 en B es À lim ?B Ä !Notación À lim ?B Ä ! 0 aB  ?Bb  0 aB b ?B si el límite existe.

0 aB  ?Bb  0 aB b .C .0 œ 0 w aBb œ C w œ œ ?B .B .B

Teoremas À Teorema1: Teorema 2: C œ 0 aBb es derivable en B si existe 0w aBb. C œ 0 aBb es derivable en el intervalo a+ß ,b si lo es en cada punto del intervalo. Si C œ 0 aBb es derivable en B œ - , entonces C œ 0 aBb es continua en B œ -Þ ?C se denomina Cuociente deNewton. ?B

Teorema 3:

El cuociente

Interpretaciones de la derivada .C 0 aB  ?Bb  0 aB b œ lim .B ?B Ä ! ?B representa la pendiente de la recta tangente a C œ 0 aBb en el punto aBß 0 aBbbÞ Elpunto aBß 0 aBbb debe pertenecer a la función C œ 0 aBb para ser el punto de tangencia. Si aB! ß C! b es punto de tangencia de la curva C œ 0 aBbß entonces es posible establecer las ecuaciones de dosrectas À a) Si C œ 0 aBb, entonces la derivada Recta Tangente C  C! œ ”Œ .C aB! ß C! b•aB  B! b .B I) Geometría Analítica

Recta Normal Î Ñ Ð Ó " Ó B! b C  C! œ Ð aB  Ð Î .C Ñ Ó aB ß C b Ï Ï .BÒ ! ! Ò La recta tangente y la recta normal son perpendiculares en el punto de tangencia.

Determine la ecuación de la recta tangente y normal a la función en el punto de tangencia dado. "Ñ 0...