Derivada

CAPITULO 3
Aplicaciones de la Derivada
Licda. Elsie Hern´ndez Sabor´ a ıo

Instituto Tecnol´gico de Costa Rica o Escuela de Matem´tica a Cr´ditos e ´ Primera edici´n impresa: Rosario Alvarez, 1988. o Edici´n Latex: Marieth Villalobos, Alejandra Araya, Jessica Chac´n, Luis E. Carrera y Lisseth Angulo. o o Edici´n y composici´n final: Walter Mora. o o Gr´ficos: Walter Mora, Evelyn Ag¨ero, MariethVillalobos y Alejandra Araya. a u Comentarios y correcciones: escribir a wmora2@yahoo.com.mx

Enero 20, 2006
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Contenido
3.1 Estudio de la variaci´n de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 3.1.1 Funciones crecientes y decrecientes y su relaci´n con la derivada . . . . . . . . . . . . . . o 3.1.2 Valor m´ximo y valor m´ a ınimo de unafunci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 3.1.3 Criterio de la primera derivada para determinar los m´ximos y los m´ a ınimos de una funci´n o Concavidad y puntos de inflexi´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 3.2.1 Criterio de la segunda derivada para establecer los valores m´ximos y los valores m´ a ınimos de una funci´n . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o Trazo de curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1 As´ ıntotas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Resoluci´n de problemas de m´ximos y m´ o a ınimos: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 4 7 10 15 21 2323 37

3.2

3.3 3.4

3

4

3.1

Estudio de la variaci´n de funciones o

Adem´s de la utilizaci´n de la derivada para el c´lculo de ciertos l´ a o a ımites, (Regla de L’Hˆpital), es posible, por o medio de ella, obtener informaci´n sobre el comportamiento de una funci´n, lo que permite contar con ciertos o o criterios que ayudan a representarla gr´ficamente. a

3.1.1

Funcionescrecientes y decrecientes y su relaci´n con la derivada o

Sea f una funci´n continua con ecuaci´n y = f (x), definida en un intervalo [a, b]. La siguiente es la repreo o sentaci´n gr´fica de f en el intervalo [a, b]. o a

a

x3

x5

x6

b

En la representaci´n gr´fica anterior puede observarse la funci´n f es: o a o 1. Creciente en los intervalos ]a, x3 [ , ]x5 , x6 [ 2. Decreciente enlos intervalos ]x3 , x5 [ , ]x6 , b[ Tambi´n se tiene que cuando la pendiente de la recta tangente es positiva, la funci´n f crece; y cuando la e o pendiente de la recta tangente es negativa, la funci´n decrece. o Note adem´s que en los puntos (x3 , f (x3 )) , (x5 , f (x5 )) y (x6 , f (x6 )) la recta tangente es horizontal, por lo que a su pendiente es cero, es decir, la primera derivada de lafunci´n se anula en cada uno de esos puntos. o En los siguientes teoremas se formalizan las apreciaciones anteriores. Teorema 1 Sea f una funci´n continua en un intervalo cerrado [a, b] y derivable en el intervalo abierto ]a, b[. o 1. Si f (x) > 0 para toda x en ]a, b[, entonces la funci´n f es creciente en [a, b]. o 2. Si f (x) < 0 para toda x en ]a, b[, entonces la funci´n f es decreciente en [a,b]. Demostraci´n: Al final o o del cap´ ıtulo Ejemplo 1

5 1. Determinemos los intervalos en que crece o decrece la funci´n con ecuaci´n f (x) = o o Para ello calculemos la primera derivada de f : f (x) = x − 2. Como f (x) > 0 ⇐⇒ x − 2 > 0, o sea si x > 2, entonces f es creciente para x > 2. Como f (x) < 0 ⇐⇒ x − 2 < 0, o sea si x < 2, entonces f es decreciente para x < 2. En la representaci´ngr´fica de la funci´n puede observarse lo obtenido anteriormente. o a o 1 2 (x − 4x + 1). 2

2
-3/2

2. Determine en cu´les intervalos crece o decrece la funci´n con ecuaci´n f (x) = x2 + a o o La derivada de f est´ dada por f (x) = 2x− a

1 con x = 0. x2

2 2(x − 1)(x + 1)(x2 + 1) que puede escribirse como f (x) = 3 x x3

Como 2(x2 − 1) es positivo para toda x en R entonces: f (x) > 0...