Derivada

ÍNDICE
• Concepto de límite
• Propiedades de los límites
• Definición de continuidad
• Tipos de continuidad
• Concepto de derivada
• Tabla de derivadas
•Crecimiento y decrecimiento
• Máximos y mínimos
• Concavidad y convexidad
• Puntos de inflexión
• Representación gráfica de funciones
Idea de límite de una funciónen un punto : Sea la función y = x2 . Si x tiende a 2 a qué valor se aproxima y
:
x ! 2−
y!

1'8
3'24

1'9
3'61

1'99
3'9601

1'999
3'996001

x !2+
y!

2'2
4'84

2'1
4'41

2'01
4'0401

2'001
4'004001

Luego cuando x se aproxima a 2 , tanto por la derecha como por la izquierda los valores de y seacercan cada
vez más a 4 . Esta idea se suele expresar así :

(límite lateral por la izquierda)

(límite lateral por la derecha)
Cuando el límite por laderecha y por la izquierda existen y son iguales se dice que existe límite en ese
punto y es :

Si los límites laterales en x = x0 son distintos entonces f no tienelímite en ese punto .
Definición intuitiva de límite : dada una función f , el límite de f cuando x tiende a x0 es el valor al que se
aproximan las imágenes mediantef de los puntos x cuando éstos se aproximan al valor de x0 .
Definición matemática de límite : una función f tiene límite l cuando x tiende a x0 si es posibleconseguir
que f(x) esté tan próximo a l como se quiera al tomar x suficientemente próximo a x0 ( tanto como sea
necesario ) pero siendo x
x0 .

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Decir que "f(x)se aproxima a l tanto como se quiera" equivale a decir que la distancia de f(x) a l es menor que
cualquier valor por pequeño que este sea , es decir /f(x)− l/