Derivada

DERIVADA
Diríamos que representa su tasa de crecimiento. Es decir, la derivada de una función nos dice, De alguna manera, cuanto cambia la función (variable dependiente) a medida que cambia la Variable independiente. La derivada de una función nos dirá si una función crece o decrece rápidamente o lentamente. Para introducir el concepto de derivada de una función, mejor comenzaremos describiendoel significado geométrico que tiene, para luego venirla más correctamente.
Significado geométrico de la derivada
Consideremos una función lineal como f(x) = mx+n. Sabemos que la pendiente de la recta descrita por esta función es constante e igual a m. Es decir, la tasa de crecimiento de esta función es constante y vale m. Decimos que la derivada de esta función es constante para todo x y vale m.Consideremos ahora, a modo de ejemplo, la función cuadrática f(x) = x²
Cual es la tasa de crecimiento de esta función. Al graficar esta función (una parábola) nos damos cuenta que su tasa o ritmo de crecimiento no es constante. A medida que nos alejamos del origen a lo largo del eje x hacia la derecha, esta función crece y crece cada vez más rápido.
¿Como poder medir más cuantitativamente estatasa de crecimiento? Consideremos los siguientes dos puntos de la parábola:
P1 (1; f (1)) = P1 (1; 1)
El deseo de medir y de cuantificar el cambio, la variación, condujo en el siglo XVII hasta la noción de derivada.
El estudio de las operaciones con derivadas, junto con las integrales, constituye el cálculo infinitesimal. Los introductores fueron Newton y Leibnitz, de forma independiente. Losconceptos son difíciles y hasta bien entrado el siglo XIX no se simplificaron. A ello contribuyó la aparición de una buena notación, que es la que usaremos. Las aplicaciones prácticas de esta teoría no dejan de aparecer.
1. Tasa de variación media
Incremento de una función
Sea y = f(x) y a un punto del dominio de f. Suponemos que a aumenta en h, pasando  al valor a +h, entonces f pasa a valerf(a +h), al valor h se le lama incremento de la variable, y a la diferencia entre f(a +h) y f(a) el incremento de la función.
Tasa de variación media
Llamamos tasa de variación media (o tasa media de cambio)  T.V.M., de la función y =f(x) en el intervalo
 [a, b] al cociente entre los incrementos de la función y de la variable, es decir:
T.V.M. [a, b] =
 
Ejemplo 1. Halla la tasa devariación media de la función
f(x) =3-x2 en el intervalo [0,2]
Solución
T.V.M. [0, 2] =
 2. Tasa de variación instantánea. La derivada
Consideremos un valor h (que puede ser positivo o negativo).
La tasa de variación media en el intervalo [a, a +h] sería.
 
Nos interesa medir la tasa instantánea, es decir el cambio cuando la h tiende a cero, es decir :

A este valor se le llama la derivada dela función f en el punto a y se designa por , por lo tanto, la derivada de una función en un punto es el límite de la tasa de variación media cuando el incremento de la variable tiende a 0.
=
Si f tiene derivada en el punto a se dice que f es derivable en a.
Observación 1. Si hacemos x =a +h, la derivada, en el punto a , también puede expresarse así:

Ejercicio 2. Hallar la derivada de lafunción f(x) = -x2 +4x   el punto de abscisa x =1.
Observación 2. También se puede hablar de derivadas laterales, f ’+ y f -’ (obligatorio que f sea continua) según se considere el límite para  h>0 o h<0. Si existen los dos límites laterales y coinciden la función es derivable.
Ejemplo 2. Las derivadas laterales de la función  en x =0 son 1 y –1.
      
Luego la función valor absoluto noes derivable en el 0.
Proposición. Toda. Función derivable en un punto es continua en dicho punto.
El recíproco es falso.
Ejemplo 2.  Es continua en 0, pero no es derivable en 0.
Aplicación física de la derivada
         Consideremos la función espacio E= E(t).
         La tasa de variación media de la función espacio en  el intervalo  [t0, t]  es:  vM(t)=, que es lo que en Física...