derivada

1.- Un problema clásico es el de la cajita. Se desea construir una caja sin tapa, de base cuadrangular,
a partir de una lámina cuadrada de 60 unidades de longitud de lado, recortando cuadrados
de sus esquinas y doblando las pestañas sobrantes para que sean su altura. Calcular las
dimensiones de la caja de mayor volumen.
Solución: La figura 11.10 muestra la idea. La
lámina entera está a laizquierda con
los dobleces que se le han de hacer
y los cuadritos en las esquinas que
deben eliminarse. A la derecha aparece
la cajita ya construida.
Sea x la longitud del cuadrito a eliminarse,
por lo tanto la longitud restante
que será realmente lo largo y
ancho de la cajita es de 60 - 2x.
Antes de resolver el problema conviene
hacer una pequeña tabla para
mostrar que con diferentesvalores
del cuadrito a eliminar de lado x ,
que es lo mismo que la caja, se obtienen volúmenes diferentes. O sea, si la altura de la caja es, por ejemplo, x = 1, las
otras dimensiones son de 58 × 58 y su volumen es de V = 1× 58 × 58 = 3364
figura 11.10

Puede verse en la tabla que el volumen va aumentando hasta cierto valor y luego comienza a
descender, lo que significa que hay algún volumenque es más grande que los demás, o sea
que es máximo. No puede afirmarse a la ligera que el volumen máximo es V = 15 884 correspondiente
a las dimensiones 11 × 38 × 38 simplemente porque ese es el que se ve en la tabla,
pues bien podría ser que antes de x = 11 y después de x = 9 se haya logrado el máximo y
que al pasar por x = 11 ya venga en descenso. O también podría ser posible que despuésde
x = 11 siga creciendo el volumen y luego al descender (entre x = 11 y x = 15) se llegó a V
= 13 500 cuando x = 15, según la tabla.
Tampoco tendría validez completar la tabla con los valores de x = 10 ; x = 12 ; x = 13 y
x = 14 para analizar la tabla y sacar una conclusión, pues de entrada nada garantiza que el
máximo se obtenga para un valor entero de x, sino para un valor decimal. La únicamanera
certera de obtener el valor de x para el cual el volumen es máximo es aplicando el procedimiento
de máximos y/o mínimos del Cálculo Diferencial.





El volumen de la cajita es
V = x (60 - 2x)(60 - 2x)
= x (3600 - 240x + 4x2)
= 360 0x - 240x2 + 4x 3
Esta es la función que describe el comportamiento del enunciado, por lo tanto es la que debe

derivarse y aplicarle todo elprocedimiento de máximos y/o mínimos:
dV 3600 480x 12x2
dx

igualando a cero y resolviendo:
12x2 − 480x + 3 600 = 0
de donde los valores críticos que se obtienen son
1 x = 30
2 x = 10
¿Cuál de ambos valores es máximo y cuál es mínimo? Para investigarlo se puede recurrir al
proceso general, es decir, dar un valor un poco menor, luego un valor un poco mayor, etc.,
pero a veces, como en esteejemplo, se puede deducir por lógica. Recordando que x representa
la altura de la cajita, es decir, la longitud del cuadrito a eliminarse, si ésta mide 30, al
quitar por cada esquina cuadritos de 30, ¿cuánta lámina queda para hacer la cajita? ¡Nada!
Significa que en x = 30 hay un mínimo. Por lo tanto, en x = 10 hay un máximo.
De hecho, conviene siempre que se va a resolver un problemas demáximos y/o mínimos localizar
los valores frontera de la variable independiente. En este caso, los valores frontera de
x son, por un extremo x = 0, ya que así la caja carece de altura y su volumen es cero; el otro
es x = 30 porque así se elimina toda la lámina y no queda nada para construir la caja, por lo
tanto su volumen es cero. Como no puede haber dos mínimos seguidos sin que haya al menos
unmáximo en medio, el valor crítico obtenido de x = 10 debe ser máximo.

Las dimensiones de la cajita han de ser 10 × 40 × 40 y el volumen máximo que se puede
obtener es de
V = 10 × 40 × 40
V = 16 000 .








2.- Una lámina metálica rectangular mide 5 m de ancho y 8 m de largo. Se van
a cortar cuatro cuadrados iguales en las esquinas para doblar la pieza metálica resultante y...